“數(shù)形結(jié)合思想”專題及專項(xiàng)訓(xùn)練
三、重點(diǎn)剖析
1.與方程有關(guān)的問(wèn)題
例1
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)
解析:
出兩個(gè)函數(shù)圖象,易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn),故方程有2個(gè)實(shí)根,選(B)。
點(diǎn)撥:對(duì)于一些不規(guī)則方程判斷根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,用解方程的方法求出解來(lái),再說(shuō)有幾個(gè)根是不可能的,而借助數(shù)形結(jié)合,將根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.
2、與不等式有關(guān)的問(wèn)題
例2
解析:
.
點(diǎn)撥: 數(shù)形結(jié)合,將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的高低關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解方程,求交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)Δ=
(2)a∈(?3,?2,
令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象
如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間,而直線l1、l2對(duì)應(yīng)的a值(即直線的斜率)分別為1,?3,
3.與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題
∴?1≤y≤2a+3,即B={y|?1≤y≤2a+3}
必須且只需,解得≤a≤2
③當(dāng)a>2時(shí),0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},
要使CB必須且只需
,解得2<a≤3
點(diǎn)撥: 解決集合問(wèn)題首先看清元素究竟是什么,然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn),再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決
求一元二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域或最值,要根據(jù)對(duì)稱軸與該區(qū)間的關(guān)系,充分借助相應(yīng)區(qū)間上二次函數(shù)的圖象求解.
4、與幾何有關(guān)的問(wèn)題
例5若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________。
解析:y=x-m表示傾斜角為45°,縱截距為-m的直線,而則表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓在x軸上方的部分(包括圓與x軸的交點(diǎn)),如圖所示,顯然,欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),只需直線的縱截距,即.
點(diǎn)撥:明確方程的幾何意義,在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的幾何圖形,根據(jù)直線系的特點(diǎn),由圖形研究直線與半圓的位置關(guān)系.
例6 。
解析:
截距。
∴
反思:對(duì)于形如y-3x的二元一次函數(shù)求最值,如果限制條件是表示的是幾何區(qū)域或曲線,常采用借助直線的截距來(lái)求.
數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧,不僅在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效,而且在解決一些抽象問(wèn)題中常起到事半功倍的效果,在運(yùn)用過(guò)程中要特別注意以下問(wèn)題:
【例1】方程lgx = sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 ( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
錯(cuò)解:畫(huà)出y = lgx和y = sinx在同一坐標(biāo)系中的圖象,如圖所示,
一、“數(shù)”的精確性與“形”的全面性:
兩圖象有1個(gè)交點(diǎn),選A.
錯(cuò)因分析:函數(shù)y = sinx,而lg10=1,且<10,函數(shù)y = lgx的圖象有誤。
正解:畫(huà)出y = lgx和y = sinx在同一坐標(biāo)系中的圖象,如圖所示,
兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn),選C.
點(diǎn)評(píng):一些判斷方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為考察兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),但要注意“數(shù)”的精確性,準(zhǔn)確作圖,從而得出正確結(jié)論。
【例2】函數(shù)y = a|x|與y = x + a的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,+∞) B.(- 1,1)
C.(- ∞,- 1]∪[1,+∞) D.(- ∞,- 1)∪(1,+∞)
錯(cuò)解:在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y = a|x|與y = x + a的圖象,
所以a > 1,選A。
錯(cuò)因分析:畫(huà)函數(shù)y = a|x|的圖象時(shí),忽略了討論系數(shù)a的正負(fù)。
正解:畫(huà)出y = a|x|與y = x + a的圖象,兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的情形如下:
點(diǎn)評(píng):有些數(shù)學(xué)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的圖形是不唯一的,必須根據(jù)不同情況準(zhǔn)確作圖,再進(jìn)行討論求解。
二、“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的等價(jià)性
【例3】若關(guān)于x的方程x 2 + 2kx + 3k = 0的兩根都在-1和3之間,求k的取值范圍。
誤解:令f (x) = x 2 + 2kx + 3k,其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f (x) = 0的解。
由y = f (x)的圖象可知,要使兩根都在-1和3之間,只需
,∴k∈
錯(cuò)因分析:所列不等式組與滿足條件的圖象不等價(jià)。比如下圖,滿足此不等式組,但不滿足方程根的分布情況。
正解:由圖象列出滿足條件的不等式組為 ,∴k∈(- 1,0].
點(diǎn)評(píng):此類題存在著兩個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化:一是將方程根的分布情況轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸的交點(diǎn)情況,進(jìn)而畫(huà)出函數(shù)草圖;二是由草圖列出與之等價(jià)的不等式組。
五、規(guī)律總結(jié)
數(shù)形結(jié)合的思想,就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來(lái)的思想方法,即根據(jù)解決問(wèn)題的需要,可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究(即“以形助數(shù)”);或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研究(即“以數(shù)助形”)。
1.數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種:
(1)函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的內(nèi)在聯(lián)系①構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的范圍;②構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的個(gè)數(shù);③構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系。
(2)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題。
(3)研究幾何圖形的形狀、形狀、圖形間的位置關(guān)系。
2.“以形助數(shù)”常用的有:借助數(shù)軸;借助函數(shù)圖象、借助單位;借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征;借助解析幾何方法。
3.“以數(shù)助形”常用的有:借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系;借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。
六、能力突破
華羅庚先生曾指出:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事非。”數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。
【例1】設(shè)A=,B=,C=,若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
分析:解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C,進(jìn)而用不等式將這一集合語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化。
解:∵y=2x+3在[-2,a]上是增函數(shù),∴B=。
作出函數(shù)z=x2的圖象,其定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置關(guān)系:
①當(dāng)時(shí),如圖1,,即{z|}。
要使,必須且只需,解得,與矛盾。
②當(dāng)時(shí),如圖2,,即{z|}.
要使,必須且只需,解得。
③當(dāng)時(shí),如圖3,,即{z|}。
要使,必須且只需,解得。
④當(dāng)a<-2時(shí),A=,此時(shí)B=C=,成立。
綜上所述,a的取值范圍是。
反思:解決集合問(wèn)題首先要看清元素究竟是什么,然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,進(jìn)而分析條件與結(jié)論的特點(diǎn),再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言,利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決。
對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,應(yīng)抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系,借助圖象的直觀形象,達(dá)到解決問(wèn)題的目的。
【例2】已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=3(),求(1),(2)b=2x+y的取值范圍。
分析:m可以看作過(guò)兩點(diǎn)的斜率,而b是直線的截距。
解:(1)將m看作半圓x2+y2=3()上的點(diǎn)M(x,y)和定點(diǎn)A(-3,-1)的直線的斜率。
由圖1可知,(k1、k2分別表示直線AM1、AM2的斜率),
且。
直線AM2的方程是,有。
所以,。
(2)將b看作斜率為-2,過(guò)半圓x2+y2=3()上的點(diǎn)P(x,y)的直線在y軸上的截距。
由圖2 可知,(n1、n2分別表示直線BP1、CP2的截距)。
直線BP1的方程是,則n1= 。
設(shè)直線BP2的方程是2x+y+c=0,有。
所以,。
反思:根據(jù)所給代數(shù)式的特點(diǎn),由解析幾何中的斜率、截距、距離的概念研究最值問(wèn)題,是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)重要體現(xiàn)。
形如2x+y的代數(shù)式求最值,如果限制條件表示的是幾何區(qū)域或曲線,常借助直線截距來(lái)求;而形如的代數(shù)式,根據(jù)其幾何意義為斜率求解。
從上面所舉的兩個(gè)例子中可以看出:數(shù)形結(jié)合思想的“數(shù)”與“形”結(jié)合,相互滲透,把代數(shù)式的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合,充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義,使代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化,使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合,從而尋找到解題思路,使問(wèn)題得到解決。
七、高考風(fēng)向標(biāo)
數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,歷年來(lái)一直是高考考查的重點(diǎn)之一,主要涉及:
集合及其運(yùn)算問(wèn)題――韋恩圖與數(shù)軸;
用函數(shù)圖象解決有關(guān)問(wèn)題(如方程、不等式等);
運(yùn)用向量解決有關(guān)問(wèn)題;
三角函數(shù)圖象及其應(yīng)用;
數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用;
解析幾何中的數(shù)形結(jié)合。
靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能,復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo),加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,以提高解題能力和速度。
【例1】(07年高考浙江卷理10)設(shè)是二次函數(shù),若的值域是,則的值域是( )
A. B.
C. D.
解析:C 因?yàn)?sub>是二次函數(shù),值域不會(huì)是A、B,畫(huà)出函數(shù)的圖像(圖1)易知,當(dāng)值域是時(shí),的值域是。
點(diǎn)評(píng):本題主要考查分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),通過(guò)函數(shù)的圖象確定解題思路,直觀、清晰,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。
熟悉各類函數(shù)的圖象,借助圖象研究函數(shù)的性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性),結(jié)合函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征有助于理解題意,探求解題思路,檢驗(yàn)解題結(jié)果。如:
(08年高考福建卷理12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖,那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是( )
解析:D由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,在(0,+)單調(diào)減,說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)切線的斜率為單調(diào)減,排除A、C。又由圖象知兩導(dǎo)函數(shù)在x=x0處相交,說(shuō)明兩函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象在x=x0處的切線斜率相等,排除B。
【例2】(08年高考浙江卷理5文7)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
解析:C 圖象如圖所示,直線與該函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng):本題考查了誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的圖象等知識(shí),考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。
在解決三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí),若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中,將數(shù)(量)與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究,使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái),這是解決三角函數(shù)問(wèn)題的一種思維策略。
另一方面,用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法。如:
(08年高考湖北卷文13)方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 。
解析:2 如圖,在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出和的圖象
由圖可知,兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即方程有兩個(gè)根。
【例3】(08年高考湖南卷理3)已知變量x、y滿足條件則的最大值是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
解析:C如圖所示,可行域?yàn)閳D中陰影部分(包括邊界線),則z=在A點(diǎn)處取得最大值,由得A(3,3),故最大值為3+3=6.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)。
二元一次方程組與二元函數(shù)的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)上是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題,利用可行域可以求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于典型的數(shù)形結(jié)合的案例。值得注意的是,目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與邊界直線斜率的大小關(guān)系用于確定最優(yōu)解的正確位置應(yīng)仔細(xì)觀察各直線的傾斜程度,準(zhǔn)確判定可行域內(nèi)的最優(yōu)解。
此類題目在各地高考試題中均有考查,主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。
【例4】(08年高考海南寧夏卷理11)已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A. (,-1) B. (,1) C. (1,2) D. (1,-2)
解析:A 定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部,由拋物線的定義,動(dòng)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)和拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo),顯然點(diǎn)是直線和拋物線的交點(diǎn),解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的思想方法。類似的題目在過(guò)去的高考中。
【易錯(cuò)指導(dǎo)】不能通過(guò)草圖和簡(jiǎn)單的計(jì)算確定點(diǎn)和拋物線的位置關(guān)系,不能將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到準(zhǔn)線的距離,是解錯(cuò)本題或不能解答本題的原因。
在解析幾何中,曲線是軌跡的幾何形式,具有直觀形象的優(yōu)點(diǎn);方程是軌跡的代數(shù)形式,便于運(yùn)算,具有可操作性的優(yōu)點(diǎn)。曲線和方程是同一軌跡的兩種表示形式,在不同形式下各有所長(zhǎng),把二者緊密結(jié)合起來(lái),能揚(yáng)長(zhǎng)避短,各得其所,因此充分利用平面直角坐標(biāo)系,使屬性緊密結(jié)合起來(lái),以便發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)。
在各地高考試題對(duì)解析幾何的考查中,通過(guò)選擇、填空、解答題的形式均有體現(xiàn)。
八、沙場(chǎng)練兵
一、選擇題
1、(08濰坊模擬)已知0 < a < 1,則方程a |x| = |log a x|的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 ( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)
2、如果實(shí)數(shù)x、y滿足(x ? 2) 2 + y 2 = 3,則的最大值為( )
A. B. C. D.
3、(08濟(jì)寧模擬)設(shè)集合,,則等于( )
A. B. C. D.
4、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),將和的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是( )
5、(08黃岡模擬)若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6、則|z|的最大值為( )
A. B.2 C.3 D.4
7、(08臨沂模擬)函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為( )
A. B.
C. D.
8、方程的根分別是a,b,則a與b的大小關(guān)系是( )
A.a>b B. a<b C. a=b D.不確定
9、對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,設(shè)f(x)是4x+1,x+2和-2x+4三者中的最小者,則f(x)的最大值為( )
A. B.3 C. D.
10、設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11、在上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且,若在區(qū)間上是減函數(shù),則 ( )
A.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)
12、
MF1的中點(diǎn),O表示原點(diǎn),則|ON|=( )
二、填空題
13、若f (x) = x 2 + bx + c對(duì)任意實(shí)數(shù)t,都有f (2 + t) = f (2 ? t),則f (1)、f (- 3)、f (4)由小到大依次為_(kāi)__________。
14、若關(guān)于x的方程x 2 ? 4|x| + 5 = m有四個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___.
15、若直線y = x ? m與曲線y = 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____.
16、(08福州模擬)是 。
1.B 提示:在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)y = a |x|與y = |log a x|圖象,如圖
2.D提示: 如圖|OM| = 2,|AM| = ,|OA| = 1,∴k = tan∠AOM = 。
3.B提示: A=[0,4],B=[-4,0],
4.D
5.B 提示:如圖
6.C 提示:而|z|表示
7.A 提示:T=2×8=16,則,令。
8.A 提示:在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象,易得。
9.A 提示:在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=4x+1,y=x+2和y=-2x+4的圖象,由圖可知,f(x)的最高點(diǎn)為。
10.D 提示:由可行域易知z=5x+y過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)取得最大值5.
11.B 提示: f(x)= f(-x)= f(2-x),故f(x)的草圖如圖:
由圖可知,B正確。
12.C提示:設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2,(如圖),,又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn), ∴ON是△MF1F2的中位線,
13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示:由f (2 + t) = f (2 ? t)知,f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,又f (x) = x 2 + bx + c為二次函數(shù),其圖象是開(kāi)口向上的拋物線,由f(x)的圖象,易知f (1) < f (4) < f (- 3).
14.1 < m < 5提示:設(shè)y 1 = x 2 ? 4|x| + 5,y 2 = m,畫(huà)出兩函數(shù)圖象示意圖,要使方程x 2 ? 4|x| + 5 = m有四個(gè)不相等實(shí)根,只需使1 < m < 5.
15.
提示:y=x-m表示傾角為45°,縱截距為-m的直線方程,而則表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓在x軸上方的部分(包括圓與x軸的交點(diǎn)),如下圖所示,顯然,欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),只需直線的縱截距,即.
16、
,
九、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
3. 若不等式的解集為則a的值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若時(shí),不等式恒成立,則a的取值范圍為( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]
5 已知f(x)=(x?a)(x?b)?2(其中a<b,且α、β是方程f(x)=0的兩根(α<β,則實(shí)數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為( )
6.已知x+y+1=0,則的最小值是( )
A. B. C. D..
7.如圖,是周期為的三角函數(shù)y=f(x)的圖像,那么f(x)可以寫(xiě)成( )
A.sin(1+x) B.sin(-1-x) C.sin(x-1) D.sin(1-x)
8.方程x+log3x=2,x+log2x=2的根分別是α、β,那么α與β的大小關(guān)系是( )
A.α>β B.α<β C.α=β D.不確定.
9.
10. 在約束條件下,當(dāng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是( )
A. B. C. D.
11. 若不等式在(0,)內(nèi)恒成立,則a的取值范圍( )
A.[ ,1) B.( ,1) C.(0, ) D.(0, ]
12.已知,關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-2,2] B.[,2] C.( ,2] D.( ,2)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,請(qǐng)把答案直接填在題中橫線上.
13.曲線y=1+ (?2≤x≤2)與直線y=r(x?2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)r的取值范圍___________.
14 . 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________。
15. 函數(shù)的最小值為_(kāi)__________。
16. 對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x,設(shè)f(x)是4x+1,x+2和-2x+4三者中的最小者,則f(x)的最大值為_(kāi)________.
三、解答題:本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. (12分)若不等式的解集為A,且,求a的取值范圍。
18.(12分)設(shè),試求方程有解時(shí)k的取值范圍。
19 (12分)已知圓C:(x+2)2+y2=1,點(diǎn)P(x,y)為圓C上任一點(diǎn).
⑴求的最值. ⑵求x-2y的最值.
20. (12分)設(shè)A={(x,y)|y=,a>0},B={(x,y)|(x?1)2+(y?)2=a2,a>0},且A∩B≠,求a的最大值與最小值
21. (12分)設(shè)f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
22 (12分)已知A(1,1)為橢圓=1內(nèi)一點(diǎn),F1為橢圓左焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn) 求|PF1|+|PA|的最大值和最小值
參考答案:
一、選擇題
1. C 解析:畫(huà)出在同一坐標(biāo)系中的圖象,即可。
2. D 解析:畫(huà)出的圖象
情形1: 情形2:
3. B 解析:畫(huà)出的圖象,依題意,從而。
4. C 解析:令,畫(huà)出兩函數(shù)圖象.
a>1
若a>1,當(dāng)時(shí),要使,只需使,∴;
若,顯然當(dāng)時(shí),不等式恒不成立。
5 A 解析 a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的兩根,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示
6. B 解析:方程x+y+1=0表示直線,而式子表示點(diǎn)(1,1)到直線上點(diǎn)的距離,因此式子的最小值就是點(diǎn)(1,1)到直線x+y+1=0的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式可求.
7. D 解析:由周期為得,ω=1,令1×1+φ=得, φ=-1.所以y=sin(x+-1)=-sin(x-1)=sin(1-x).
8. A 解析:由題意有, log3x=2-x, log2x=2-x,在同一坐標(biāo)系中作出y=log3x,y=log2x,y=2-x的圖像,
易見(jiàn)α>β.
9. D 解析:k=tan60°=.
(9題圖) (10題圖)
10. 解析:畫(huà)出可行域如圖
∵,∴在圖中A點(diǎn)和B點(diǎn)處,目標(biāo)函數(shù)z分別取得最大值的最小和最大.
∴zmax∈[7,8].故選D.
11. 解析:不等式變形為,令y1=x2,y2=logax,如圖
函數(shù)y2過(guò)點(diǎn)A()時(shí),a=,為滿足條件的a邊界,故a的范圍是≤a<1.
(11題圖) (12題圖)
12.D. 解析:在坐標(biāo)系中畫(huà)出y=的圖象.
二、填空題
13. (] 解析 方程y=1+的曲線為半圓,y=r(x?2)+4為過(guò)(2,4)的直線. 14. 解析:設(shè),
畫(huà)出兩函數(shù)圖象示意圖,要使方程有四個(gè)不相等實(shí)根,只需使.
15. 解析:對(duì),它表示點(diǎn)(x,1)到(1,0)的距離;表示點(diǎn)(x,1)到點(diǎn)(3,3)的距離,于是表示動(dòng)點(diǎn)(x,1)到兩個(gè)定點(diǎn)(1,0)、(3,3)的距離之和,結(jié)合圖形,易得。
16. 解析:在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖像,如圖, 由圖知, f(x)的最高點(diǎn)為A(),
所以, f(x)的最大值為.
三、解答題
17. 解:令表示以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓在x軸的上方的部分(包括圓與x軸的交點(diǎn)),如下圖所示,表示過(guò)原點(diǎn)的直線系,不等式的解,即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對(duì)應(yīng)的x值。
由于不等式解集, 因此,只需要
∴a的取值范圍為(2,+)。
(17題圖) (18題圖)
18. 解:將原方程化為:,
∴
令,它表示傾角為45°的直線系,;
令,它表示焦點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)為(-a,0)(a,0)的等軸雙曲線在x軸上方的部分,
原方程有解,則兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn),由圖知,
∴. ∴k的取值范圍為
(1) (2)
(1)設(shè)Q(1,2),則的最值分別為過(guò)Q點(diǎn)的圓C的兩條切線的斜率.如圖
設(shè)PQ:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0
∴,∴k=或k=.
∴的最大值為,最小值為.
(2)令x-2y=b,即x-2y―b=0,為一組平行直線系,則x-2y=b的最值就是直線與圓相切時(shí).如圖
由得,b=-2+,或b=-2-.
∴x-2y的最大值為-2+,最小值為-2-.
20.解 ∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點(diǎn)O為圓心,a為半徑的半圓;集合B中的元素是以點(diǎn)O′(1,)為圓心,a為半徑的圓 如圖所示
∴當(dāng)半圓O和圓O′外切時(shí),a最小.∴a+a=|OO′|=2,∴amin=2?2
當(dāng)半圓O與圓O′內(nèi)切時(shí), a最大 ∴a?a=|OO′|=2,∴amax=2+2
21.解:由y=得,y2-x2=1(y>x),表示的曲線為雙曲線的上支,且此雙曲線的漸近線為y=±x.
在曲線上任取兩點(diǎn)A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率為k,由雙曲線性質(zhì)得|k|<1.
∴,∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.
(21題圖) (22題圖)
22 解 由可知a=3,b=,c=2,左焦點(diǎn)F1(?2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0)
如圖 由橢圓定義,|PF1|=2a?|PF2|=6?|PF2|,
∴|PF1|+|PA|=6?|PF2|+|PA|=6+|PA|?|PF2|
由||PA|?|PF2||≤|AF2|=知
?≤|PA|?|PF2|≤ (當(dāng)P在AF2延長(zhǎng)線上的P2處時(shí),取右“=”號(hào);
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