2009年高考數(shù)學一輪復習資料（共十三講，103頁）
29、題目
高中數(shù)學復習專題講座
排列、組合的應(yīng)用問題
高考要求
排列、組合是每年高考必定考查的內(nèi)容之一，縱觀全國高考數(shù)學題，每年都有1～2道排列組合題，考查排列組合的基礎(chǔ)知識、思維能力
重難點歸納
1 排列與組合的應(yīng)用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應(yīng)用問題 解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置 (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法
2 在求解排列與組合應(yīng)用問題時，應(yīng)注意
(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；
(2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；
(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；
(4)列出式子計算和作答
3 解排列與組合應(yīng)用題常用的方法有 直接計算法與間接(剔除)計算法；分類法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種
4 經(jīng)常運用的數(shù)學思想是
①分類討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③對稱思想
典型題例示范講解
例1在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共m+n+1個點，現(xiàn)任取其中三個點為頂點作三角形，可作的三角形有( )
命題意圖 考查組合的概念及加法原理
知識依托 法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點共線的組合
錯解分析 A中含有構(gòu)不成三角形的組合，如 C
C
中，包括O、Bi、Bj;C
C
中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分別表示OA、OB邊上不同于O的點；B漏掉△AiOBj；D有重復的三角形 如C
C
中有△AiOBj,C
C
中也有△AiOBj
技巧與方法 分類討論思想及間接法
解法一 第一類辦法 從OA邊上(不包括O)中任取一點與從OB邊上(不包括O)中任取兩點，可構(gòu)造一個三角形，有CC個；第二類辦法 從OA邊上(不包括O)中任取兩點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構(gòu)造一個三角形，有CC個；第三類辦法 從OA邊上(不包括O)任取一點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構(gòu)造一個三角形，有CC個 由加法原理共有N=CC+CC+CC個三角形
解法二 從m+n+1中任取三點共有C
個，其中三點均在射線OA(包括O點)，有C
個，三點均在射線OB(包括O點)，有C
個 所以，個數(shù)為N=C－C－C個
答案 C
例2四名優(yōu)等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_________
命題意圖 本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應(yīng)用上述概念處理數(shù)學問題的能力
知識依托 排列、組合、乘法原理的概念
錯解分析 根據(jù)題目要求每所學校至少接納一位優(yōu)等生，常采用先安排每學校一人，而后將剩的一人送到一所學校，故有3A
種 忽略此種辦法是 將同在一所學校的兩名學生按進入學校的前后順序，分為兩種方案，而實際題目中對進入同一所學校的兩名學生是無順序要求的
技巧與方法 解法一，采用處理分堆問題的方法 解法二，分兩次安排優(yōu)等生，但是進入同一所學校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的
解法一 分兩步 先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C
種；而后，對三組學生安排三所學校，即進行全排列，有A33種 依乘法原理，共有N=C
=36(種)
解法二 分兩步 從每個學校至少有一名學生，每人進一所學校，共有A種；而后，再將剩余的一名學生送到三所學校中的一所學校，有3種 值得注意的是 同在一所學校的兩名學生是不考慮進入的前后順序的 因此，共有N=
A?3=36(種)
答案 36
例3有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？
解法一(間接法) 任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C
?23?A
(個)，其中0在百位的有C?22?A
(個)，這是不合題意的，故共有不同三位數(shù) C?23?A－C?22?A=432(個）
解法二 (直接法) 第一類 0與1卡片放首位，可以組成不同三位數(shù)有
(個); 第二類 0與1卡片不放首位，可以組成不同三位數(shù)有
(個)
故共有不同三位數(shù) 48+384＝432(個）
學生鞏固練習
1 從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有_________條(用數(shù)值表示)
2 圓周上有2n個等分點(n＞1)，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為_________
3 某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？
4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中選取3個不同的值，則可確定坐標原點在拋物線內(nèi)部的拋物線多少條？
5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)
(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置
(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊
(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起
(4)全體排成一行，男、女各不相鄰
(5)全體排成一行，男生不能排在一起
(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人
(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人
6 20個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，求不同的放法種數(shù)
7 用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相鄰部分涂不同色，則涂色的方法共有幾種？
解析 因為直線過原點，所以C=0，從1，2，3，5，7，11這6個數(shù)中任取2個作為A、B兩數(shù)的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數(shù)為A
=30
答案 30
2 解析 2n個等分點可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有C種方法；再從以下的(2n－2)個等分點中任選一個點，共有C
種方法，根據(jù)乘法原理 直角三角形的個數(shù)為 C?C=2n(n－1)個
答案 2n(n－1)
3 解 出牌的方法可分為以下幾類
(1)5張牌全部分開出，有A
種方法；
(2)2張2一起出，3張A一起出，有A
種方法；
(3)2張2一起出，3張A一起出，有A
種方法；
(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有C
A種方法；
(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法；
(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法
因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種
4 解 由圖形特征分析，a＞0,開口向上，坐標原點在內(nèi)部
f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點在內(nèi)部
f(0)=c＞0,所以對于拋物線y=ax2+bx+c來講，原點在其內(nèi)部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時，可先定一正一負的a和c，再確定b,故滿足題設(shè)的拋物線共有C
C
AA
=144條
5 解 (1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇 有A種，其余6人全排列，有A
種 由乘法原理得AA=2160種
(2)位置分析法 先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)A
A種 則符合條件的排法共有AA－AA=3720種
(3)捆綁法 將男生看成一個整體，進行全排列 再與其他元素進行全排列 共有AA=720種
(4)插空法 先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有AA
=144種
(5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種
(6)定序排列 第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此A
=N×A，∴N=
= 840種 ?
(7)與無任何限制的排列相同，有A=5040種
(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA 最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可 共有A×A×A=720種
6 解 首先按每個盒子的編號放入1個、2個、3個小球，然后將剩余的14個小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔 將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉(zhuǎn)化為將三個小盒插入15個空檔的排列數(shù) 對應(yīng)關(guān)系是 以插入兩個空檔的小盒之間的“O”個數(shù)，表示右側(cè)空檔上的小盒所裝有小球數(shù) 最左側(cè)的空檔可以同時插入兩個小盒 而其余空檔只可插入一個小盒，最右側(cè)空檔必插入小盒，于是，若有兩個小盒插入最左側(cè)空檔，有C種；若恰有一個小盒插入最左側(cè)空檔，有
種；若沒有小盒插入最左側(cè)空檔，有C
種 由加法原理，有N=
=120種排列方案，即有120種放法
7 解 按排列中相鄰問題處理 (1)(4)或(2)(4) 可以涂相同的顏色 分類 若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種 由加法原理，共有N=2A+A=240種
8 解 每人隨意值兩天，共有CCC個；甲必值周一，有CCC個；乙必值周六，有CCC個；甲必值周一且乙必值周六，有CCC個 所以每人值兩天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表數(shù)，有N=CCC－2CCC+ CCC=90－2×5×6+12=42個
課前后備注
30、題目 高中數(shù)學復習專題講座概率與統(tǒng)計
高考要求
概率是高考的重點內(nèi)容之一，尤其是新增的隨機變量這部分內(nèi)容 要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想方法
重難點歸納
本章內(nèi)容分為概率初步和隨機變量兩部分 第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率和獨立重復實驗 第二部分包括隨機變量、離散型隨機變量的期望與方差
涉及的思維方法 觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化
主要思維形式有 邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維
典型題例示范講解
例1有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下
［10，15］4
［30，35
9 ［15，205 ［35，408
［20，2510 ［40，453 ［25，3011
(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；
(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖
命題意圖 本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法
知識依托 頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法
錯解分析 解答本題時，計算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別
技巧與方法 本題關(guān)鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系
解 (1)由所給數(shù)據(jù)，計算得如下頻率分布表
數(shù)據(jù)段
頻數(shù)
頻率
累積頻率
［10,15
4
0.08
0.08
［15,20
5
0.10
0.18
［20,25
10
0.20
0.38
［25,30
11
0.22
0.60
［30,35
9
0.18
0.78
［35,40
8
0.16
0.94
［40,45
3
0.06
1
總計
50
1
(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下
例2袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是
，從B中摸出一個紅球的概率為p．
(Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．
(i)求恰好摸5次停止的概率；
(ii)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為
，求隨機變量的分布率及數(shù)學期望E．
(Ⅱ) 若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是
，求p的值．
命題意圖 本題考查利用概率知識和期望的計算方法
知識依托 概率的計算及期望的概念的有關(guān)知識
錯解分析 在本題中，隨機變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤
技巧與方法 可借助n次獨立重復試驗概率公式計算概率
解 (Ⅰ)（i）
(ii)隨機變量的取值為0，1，2，3，；
由n次獨立重復試驗概率公式
，得
；
（或
）
隨機變量的分布列是
0
1
2
3
P
的數(shù)學期望是
(Ⅱ)設(shè)袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球
由
，得
例3如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2，當元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作 已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2
解 記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，
由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90
(1)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648
(2)系統(tǒng)N2正常工作的概率P2=P(A)?［1－P(
)］
=P(A)?［1－P(
)P(
)］
=0 80×［1－(1－0 90)(1－0 90)］=0 792
故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0 792
學生鞏固練習
1 甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是
，丙命中目標的概率是
現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為( )
2 已知隨機變量ζ的分布列為 P(ζ=k)=,k=1,2,3,則P(3ζ+5)等于
A 6 B 9
C 3
D 4
3 1盒中有9個正品和3個廢品，每次取1個產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)ζ的期望Eζ=_________
4 某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個班中選出4人參加某項活動，這4人恰好來自不同組別的概率是_________
5 甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.6，計算
(1)兩人都擊中目標的概率；
(2)其中恰有一人擊中目標的概率；
(3)至少有一人擊中目標的概率
6 已知連續(xù)型隨機變量ζ的概率密度函數(shù)f(x)=
(1)求常數(shù)a的值，并畫出ζ的概率密度曲線；
(2)求P(1＜ζ＜
)
7 設(shè)P在［0,5］上隨機地取值，求方程x2+px+
=0有實根的概率
8 設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0 2，機器發(fā)生故障時全天停止工作 若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內(nèi)期望利潤是多少？
參考答案:
1 解析 設(shè)甲命中目標為事件A，乙命中目標為事件B，丙命中目標為事件C，則目標被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生
故目標被擊中的概率為1－P(
??)=1－
答案 A
2 解析 Eξ=(1+2+3)?
=2，Eξ2=(12+22+32)?=
∴Dξ=Eξ2－(Eξ)2=－22=
∴D(3ξ+5)=9Eξ=6
答案 A
3 解析 由條件知，ξ的取值為0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=
,
答案 0.3
4 解析 因為每組人數(shù)為13，因此，每組選1人有C
種方法，所以所求概率為P=
答案
5 解 (1)我們把“甲射擊一次擊中目標”叫做事件A，“乙射擊一次擊中目標”叫做事件B 顯然事件A、B相互獨立，所以兩人各射擊一次都擊中目標的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36
答
