西安交大附中

2008―2009學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試

數(shù) 學(xué) 試 題(理)

 

(全卷滿分150分,用時(shí)120分鐘)

 

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有

1.設(shè)集合,,則等于

                                                                                                                              (    )

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A.                              B.R

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C.                                          D.

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2.已知,都是實(shí)數(shù),那么“”是“”的                                            (    )

       A.充分而不必要條件                     B.必要而不充分條件

       C.充分必要條件                        D.既不充分也不必要條件

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3.函數(shù)的圖像關(guān)于                                                                           (    )

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       A.軸對(duì)稱                                         B.直線對(duì)稱 

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       C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱                                  D.直線對(duì)稱

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4.已知平面向量,,且//,則=                         (    )

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       A.          B.            C.            D.

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5.已知中,,,那么角等于                         (    )

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       A.                  B.                    C.                    D.

 

 

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6.已知函數(shù),則是                                     (    )

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       A.最小正周期為的奇函數(shù)              B. 最小正周期為的奇函數(shù)

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       C.最小正周期為的偶函數(shù)              D. 最小正周期為的偶函數(shù)

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7.設(shè)等比數(shù)列的公比,前n項(xiàng)和為,則                                   (    )

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A.2                        B. 4                      C.                     D.

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8.函數(shù)的反函數(shù)為                                                         (    )

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       A.                                                B.

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       C.                                               D.

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9.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),為該拋物線上三點(diǎn),若,

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   則                                                                                                                                                                             (    )

       A.9                        B.6                        C.4                        D.3

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10.若,且當(dāng)時(shí),恒有,則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)

       形成的平面區(qū)域的面積等于                                                                             (    )

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       A.                B.                      C.1                 D.

 

 

 

 

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11.直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),再向右平移1個(gè)單位,所得到的直線為    (    )

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       A.                     B.

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       C.                        D.

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12.在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”:當(dāng)時(shí),

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       當(dāng)時(shí),. 則函數(shù),的最大值等于

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   (其中“”和“-”仍為通常的乘法和減法)                                                       (    )

       A.-1                    B.1                        C.6                        D.12

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二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)

13.若,則_________.

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14.已知,則的最小值          .

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15.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近

       線的距離為1,則雙曲線方程為           

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16.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:

       1

       2   3

       4   5   6

       7   8   9  10

       . . . . . . .

       按照以上排列的規(guī)律,第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個(gè)數(shù)為        .

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三、解答題:(本大題共6小題,共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)

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       設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,且,

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   (1)求邊長(zhǎng)

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   (2)若的面積,求的周長(zhǎng)

 

 

 

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18.本小題滿分12分)設(shè)

       求證:

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   (1)過(guò)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)直線的斜率恒大于0;

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   (2)。

 

 

 

 

 

 

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19.(本小題滿分12分)

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       設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,

20090302

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   (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

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   (2)令求數(shù)列的前項(xiàng)和

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題滿分12分)

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       設(shè)函數(shù)

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   (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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   (2)已知對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本小題滿分14分)

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   (如圖)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線

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       與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).

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   (1)若,求的值;

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   (2)求四邊形面積的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22.(本小題滿分14分)

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    設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)

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   (1)證明:對(duì)任意成立的充分必要條件是;

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   (2)設(shè),證明:;

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   (3)設(shè),證明:.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

參 考 答 案

 

1―12  ADCBC DCBBC AC

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二、填空題

13.    14.3     15.    16.

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三、解答題

17.解:

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   (1)由兩式相除,有:

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又通過(guò)知:,

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,

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   (2)由,得到

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,

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解得:,

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最后

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18.解:

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   (1)令t=,則x=,f(x)=   (t∈R)

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∴f(x)=   (x∈R)

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設(shè),f()-f()=

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   (1)a>1時(shí),…,f()<f(),∴f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增

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   (2)0<a<1時(shí),…,f()<f(),∴f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增

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<時(shí),恒有f()<f(),∴K=>0

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   (2)f(3)=

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∵a>0,a≠1  ∴  ∴上述不等式不能取等號(hào),∴f(x)>3.

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19.解:

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   (1)由已知得

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       解得

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       設(shè)數(shù)列的公比為,由,可得

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,可知,

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,

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解得

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由題意得

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故數(shù)列的通項(xiàng)為

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   (2)由于

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       由(1)得

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       又

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       是等差數(shù)列.

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       故

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20.解

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   (1) 則  列表如下:

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+

0

-

-

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單調(diào)增

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極大值

單調(diào)減

單調(diào)減

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   (2)在   兩邊取對(duì)數(shù), 得 ,由于所以

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        (1)

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由(1)的結(jié)果可知,當(dāng)時(shí),  ,

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為使(1)式對(duì)所有成立,當(dāng)且僅當(dāng),即

 

 

 

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21.解答:

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   (Ⅰ)解:依題設(shè)得橢圓的方程為

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    直線的方程分別為,. 2分

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    如圖,設(shè),其中,

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    且滿足方程

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    故.①

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    由,得;

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    由上知,得

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    所以,

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    化簡(jiǎn)得

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    解得.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

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   (Ⅱ)解法一:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知,點(diǎn)的距離分別為

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    .????????????????????????????????????????????????????????? 9分

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    又,所以四邊形的面積為

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    ,

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    當(dāng),即當(dāng)時(shí),上式取等號(hào).所以的最大值為.?????????????????????? 12分

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    解法二:由題設(shè),,

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    設(shè),由①得,

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    故四邊形的面積為

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    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

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    ,

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    當(dāng)時(shí),上式取等號(hào).所以的最大值為.??????????????????????????????????????? 12分

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解: (Ⅰ)∵為奇函數(shù),∴

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                                          ----------------------1分

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的最小值為,

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                                       -----------3分

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又直線的斜率為

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因此,                                ------------5分

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,,.                             -------------6分

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   (Ⅱ)

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  ,列表如下:

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極大

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極小

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   所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.      -----------9分

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,,

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    ∴上的最大值是,最小值是.????????12分

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22.解:

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   (1)必要性 : ,

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    又  ,即

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    充分性 :設(shè)           ,對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明

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    當(dāng)時(shí),.假設(shè)

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    則,且

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,由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立

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   (2)設(shè) ,當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立

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    當(dāng) 時(shí),

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    ,由(1)知,所以  且   

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   (3)設(shè) ,當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立

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    當(dāng)時(shí),由(2)知

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