遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈2:

解析幾何

解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 這類(lèi)試題往往以解析幾何知識(shí)為載體,綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí),所涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多,對(duì)解題能力考查的層次要求較高,考生在解答時(shí),常常表現(xiàn)為無(wú)從下手,或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為:解決這一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于:通觀全局,局部入手,整體思維. 即在掌握通性通法的同時(shí),不應(yīng)只形成一個(gè)一個(gè)的解題套路,解題時(shí)不加分析,跟著感覺(jué)走,做到那兒算那兒. 而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握,從微觀上去突破,在審題和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫,不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān).

1   判別式----解題時(shí)時(shí)顯神功

案例1   已知雙曲線,直線過(guò)點(diǎn),斜率為,當(dāng)時(shí),雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為,試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。

分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科,因此,數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手,對(duì)照草圖,不難想到:過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線,必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā),可設(shè)計(jì)如下解題思路:

 

 

解題過(guò)程略.

分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考,就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá),即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”,相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路:

 

 

 

簡(jiǎn)解:設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn),則點(diǎn)M到直線的距離為:

                          

于是,問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.

由于,所以,從而有

于是關(guān)于的方程

    

    

    

 由可知:

 方程的二根同正,故恒成立,于是等價(jià)于

.

    由如上關(guān)于的方程有唯一解,得其判別式,就可解得  .

點(diǎn)評(píng):上述解法緊扣解題目標(biāo),不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換,充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.

2   判別式與韋達(dá)定理-----二者聯(lián)用顯奇效

案例2   已知橢圓C:和點(diǎn)P(4,1),過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),在線段AB上取點(diǎn)Q,使,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.

分析:這是一個(gè)軌跡問(wèn)題,解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾,學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí),應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此,首先是選定參數(shù),然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá),最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.

由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的,自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù),如何將聯(lián)系起來(lái)?一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上;另一方面就是運(yùn)用題目條件:來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線,不難得到,要建立的關(guān)系,只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程,利用韋達(dá)定理即可.

通過(guò)這樣的分析,可以看出,雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題,但對(duì)于如何解決本題,已經(jīng)做到心中有數(shù).

 

 

 

 

 

 

 

 

    在得到之后,如果能夠從整體上把握,認(rèn)識(shí)到:所謂消參,目的不過(guò)是得到關(guān)于的方程(不含k),則可由解得,直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。

簡(jiǎn)解:設(shè),則由可得:,

解之得:              (1)

設(shè)直線AB的方程為:,代入橢圓C的方程,消去得出關(guān)于 x的一元二次方程:

      (2)

∴  

代入(1),化簡(jiǎn)得:                                (3)

聯(lián)立,消去得:

在(2)中,由,解得 ,結(jié)合(3)可求得

故知點(diǎn)Q的軌跡方程為:  ().

點(diǎn)評(píng):由方程組實(shí)施消元,產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程,其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中,難點(diǎn)在引出參,活點(diǎn)在應(yīng)用參,重點(diǎn)在消去參.,而“引參、用參、消參”三步曲,正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.

3   求根公式-----呼之欲出亦顯靈

案例3   設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P(0,3),和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn),試求的取值范圍.

分析:本題中,絕大多數(shù)同學(xué)不難得到:=,但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上,所謂求取值范圍,不外乎兩條路:其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)(或某幾個(gè))參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程),這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施;其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.

分析1: 從第一條想法入手,=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式,但由于有兩個(gè)變量,同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制,所以自然想到利用第3個(gè)變量――直線AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程,消去y得出關(guān)于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

簡(jiǎn)解1:當(dāng)直線垂直于x軸時(shí),可求得;

當(dāng)與x軸不垂直時(shí),設(shè),直線的方程為:,代入橢圓方程,消去

解之得 

因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),點(diǎn)P在y軸上,所以只需考慮的情形.

當(dāng)時(shí),,,

所以 ===.

由  , 解得 ,

所以   ,

綜上  .

       

分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,則應(yīng)該考慮到:判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō),韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁,但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理,原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式. 原因找到后,解決問(wèn)題的方法自然也就有了,即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

簡(jiǎn)解2:設(shè)直線的方程為:,代入橢圓方程,消去

         (*)

,則,

在(*)中,由判別式可得 ,

從而有   

所以     ,

解得      .

結(jié)合.

綜上,.

點(diǎn)評(píng):范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多,諸如判別式法,均值不等式法,變量的有界性法,函數(shù)的性質(zhì)法,數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手,給出又一優(yōu)美解法.

解題猶如打仗,不能只是忙于沖鋒陷陣,一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題,有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在,只有見(jiàn)微知著,樹(shù)立全局觀念,講究排兵布陣,運(yùn)籌帷幄,方能決勝千里.

 


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