2009年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試

       數(shù)學(xué) (理科)                  2009.3

    本試卷共6頁,包括六個部分21小題,滿分1 5 0分?荚囉脮rl 5 0分鐘。

注意事項:

    1.答卷前,考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損,監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼

    是否正確;之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的

    學(xué)校、姓名和考生號,同時,將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的

    貼條形碼區(qū)。請保持條形碼整潔、不污損。

    2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需

    改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,答案不能答在試卷上。不按要求填涂

    的答案無效。

    3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指

    定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上。請注意每題答題空間,預(yù)先合理安排;如需改動,先劃掉

    原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答

    的答案無效。

    4.作答選做題時,請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點,再作答。漏涂、

    錯涂、多涂的答案無效。

    5.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后,將答題卡交回。

 

參考公式:

    如果事件A、 B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);

    如果事件A、B相:互獨立,那么P(AB)=P(A)P(B);

    橢圓的準(zhǔn)線方程為,其中;

    若球的半徑為R,則球的表面積為S=4πR 2,體積為V

   

一、選擇題:本大題共8個小題;每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,有且只有一項是符合題目要求的.

1.如果復(fù)數(shù)(2+ai)i(a∈R)的實部與虛部是互為相反數(shù),則a的值等于

    A.-l    B.1      C  2     D.-2

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2009年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)(理科)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明:

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

D

C

A

B

B

A

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二、填空題:本大題每小題5分(第12題前空2分,后空3分),滿分30分.

  9..              10..             11. .          12. ;

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 13..          14. .             15.

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三、解答題:本大題6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)學(xué)科網(wǎng)

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(Ⅰ)求的最小正周期;

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(Ⅱ)設(shè),求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)學(xué)科

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網(wǎng)【解】(Ⅰ)∵學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)學(xué)科網(wǎng)

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.                                                                                                                                                                                                                                                                                   ……………………  3分                  

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的最小正周期為.                                  …………………  5分

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(Ⅱ)∵,  ,    .                        

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的值域為.                                   ………………  10分

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當(dāng)遞減時,遞增.            

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,即.        

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的遞增區(qū)間為.                             ……………………12分

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17.(本小題滿分12分)

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如圖,為圓的直徑,點、在圓上,,矩形和圓所在的平面互相垂直.已知,

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(Ⅰ)求證:平面平面;

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(Ⅱ)求直線與平面所成角的大小;

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(Ⅲ)當(dāng)的長為何值時,二面角的大小為

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【解】(Ⅰ)證明:平面平面,,

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平面平面=,

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平面

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平面,

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為圓的直徑,,

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平面

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平面平面平面.                  ………………………4分

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 (Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的證明,有平面,

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平面上的射影,

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因此,為直線與平面所成的角.                   ………………………5分

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四邊形為等腰梯形,

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過點,交

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,,則

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中,根據(jù)射影定理,得.       ………………………7分

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,

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直線與平面所成角的大小為.                       ………………………8分

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 (Ⅲ)(解法一)過點,交的延長線于點,連

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根據(jù)(Ⅰ)的證明,平面,則

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為二面角的平面角,.             …………………9分

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中,,,.              …………………  10分

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四邊形為矩形,

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.               

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因此,當(dāng)的長為時,二面角的大小為.            …………………12分

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(解法二)設(shè)中點為,以為坐標(biāo)原點,、方向

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分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

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設(shè),則點的坐標(biāo)為

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中,,,

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的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,

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,

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設(shè)平面的法向量為,則,

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     令,解得

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                                               …………………10分

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取平面的一個法向量為,依題意的夾角為

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,即, 解得(負(fù)值舍去)

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因此,當(dāng)的長為時,二面角的大小為.           …………………12分

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18.(本小題滿分14分)

甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定每局勝者得1分,

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負(fù)者得分,比賽進(jìn)行到有一人比對方多分或打滿

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局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,

且各局勝負(fù)相互獨立.已知第二局比賽結(jié)束時比賽

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停止的概率為

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若右圖為統(tǒng)計這次比賽的局?jǐn)?shù)和甲、乙的總得

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分?jǐn)?shù)、的程序框圖.其中如果甲獲勝,輸入,

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;如果乙獲勝,則輸入

寫什么條件?

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(Ⅰ)在右圖中,第一、第二兩個判斷框應(yīng)分別填

(Ⅱ)求的值;

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(Ⅲ)設(shè)表示比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量

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的分布列和數(shù)學(xué)期望.      

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注:“”,即為“”或為“”.

 

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【解】(Ⅰ)程序框圖中的第一個條件框應(yīng)填,第二個應(yīng)填.     ………………… 4分

注意:答案不唯一.

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如:第一個條件框填,第二個條件框填,或者第一、第二條件互換.都可以.

(Ⅱ)依題意,當(dāng)甲連勝局或乙連勝局時,第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束.

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.   

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 解得.                               …………………………………6分

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,     .                                ………………………… 7分

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(Ⅲ)(解法一)依題意知,的所有可能值為2,4,6.            ………………………… 8分

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設(shè)每兩局比賽為一輪,則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為

若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.

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從而有

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    ,

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隨機(jī)變量的分布列為:                                    …………………………… 12分

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.                           …………………………… 14分

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 (解法二)依題意知,的所有可能值為2,4,6.                      …………………  8分

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表示甲在第局比賽中獲勝,則表示乙在第局比賽中獲勝.

由獨立性與互不相容性得

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,

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              ,

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              .                                   …………………  12分

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隨機(jī)變量的分布列為:

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.                                 …………………  14分

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19.(本題滿分14分)

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已知函數(shù),).

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(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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(Ⅱ)若不等式對一切正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【解】(Ⅰ)                                     …………………  2分

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,得

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,

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函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.  ………… 6分  

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(Ⅱ)【法一】不等式,即為.……………(※)

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,當(dāng)時,

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則不等式(※)即為.                             …………………9分

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,,

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的表達(dá)式中,當(dāng)時,,

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時,

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單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

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時,取得最大,最大值為.             …………………12分

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因此,對一切正整數(shù),當(dāng)時,取得最大值

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實數(shù)的取值范圍是.                           ………………………… 14分

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【法二】不等式,即為.………………(※)

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設(shè),

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,

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,得.                               ………………………… 10分

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當(dāng)時,,當(dāng)時,

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當(dāng)時,取得最大值

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因此,實數(shù)的取值范圍是.                        ………………………… 14分

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20.(本題滿分14分)

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在四邊形中,已知,點軸上, ,且對角線

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(Ⅰ) 求點的軌跡的方程;

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(Ⅱ)若點是直線上任意一點,過點作點的軌跡的兩切線、為切點,的中點.求證:軸或軸重合;

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(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,直線是否恒過一定點?若是,請求出這個定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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【解】(Ⅰ)如圖,設(shè)點的坐標(biāo)為

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,

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,,即

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∴所求的軌跡是除去頂點的拋物線 ……………… 3分

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  (解法一)(Ⅱ)對函數(shù)求導(dǎo)得,

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設(shè)切點坐標(biāo)為,則過該切點的切線的斜率是,該切線方程是

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又設(shè)點的坐標(biāo)為,

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切線過點,

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化簡,得.                              …………………………6分

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設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為、,則、為方程的兩根,

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因此,當(dāng)時,直線軸重合,當(dāng)時,直線軸平行     …………9分

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(Ⅲ)

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的坐標(biāo)為.                         

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     又

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直線的方程為:,即.………(

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當(dāng)時,方程()恒成立,

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對任意實數(shù),直線恒過定點,定點坐標(biāo)為.        …………………………14分

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(解法二)(Ⅱ)設(shè)點的坐標(biāo)為,利用切點弦直線方程的結(jié)論可得出直線的方程為,即                          …………………………7分

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.

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.

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因此,當(dāng)時,直線軸重合,當(dāng)時,直線軸平行.   ……………9分

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(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為,即

后面解法同解法一.

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21.(本題滿分14分)

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已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

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(Ⅰ)若數(shù)列滿足:,),求數(shù)列的通項

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(Ⅱ)若數(shù)列滿足:,).

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(?)當(dāng)時,數(shù)列是否為等差數(shù)列?若是,請求出數(shù)列的通項;若不是,請說明理由;

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(?)當(dāng)時, 求證:

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【解】(Ⅰ),                                    …………………………1分

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,

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.                         …………………………3分

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,   數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.

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,即.                  …………………………5分

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(Ⅱ)(?),

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當(dāng)時,

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假設(shè),則

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由數(shù)學(xué)歸納法,得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,是等差數(shù)列,其通項為.   …………8分

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(?),

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當(dāng)時,

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假設(shè),則

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由數(shù)學(xué)歸納法,得出數(shù)列.              …………………………10分

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,

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,

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.                                   …………………………12分

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,

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.                                   …………………………14分

 

                                        審題:石永生    命題:喻秋生   姚亮   黃元華  

 

 

 

 

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