§5.1   向量的概念、向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積

 

〖復(fù)習(xí)要求〗1、理解有關(guān)向量的概念,掌握向量加減法作圖。2、掌握實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律,理解兩個向量共線的充要條件3、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。4、培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力。

〖雙基回顧〗

1基本概念

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2、加法與減法的代數(shù)運(yùn)算

(1)

(2)若a=(),b=()則ab=().

向量加法與減法的幾何表示:平行四邊形法則、三角形法則。

以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對角線的向量=+,=,=  且有??-??≤??≤??+??.

向量加法有如下規(guī)律:=(交換律);   +(+c)=(+ )+c     (結(jié)合律);

 +0=  +()=0.

3、實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量。

(1)??=?????;

(2) 當(dāng)>0時,的方向相同;當(dāng)<0時,的方向相反;當(dāng)=0時,=0 

(3)若=(),則?=().

兩個向量共線的充要條件:

(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實(shí)數(shù),使得b=

(2) 若=(),b=()則b

平面向量基本定理:

e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù),,使得=e1+ e2

一、知識點(diǎn)訓(xùn)練:

1、兩向量共線是兩向量相等的_______

A  充分不必要條件  B  必要不充分條件  C 充要條件  D  既不充分也不必要條件

試題詳情

2、當(dāng)不共線時,的關(guān)系是______

A  平行  B  垂直  C  相交但不垂直  D  相等

試題詳情

3、給出以下四個命題:(1)若兩非零向量,使得,那么;(2)若兩非零向量,則;(3)若,則;(4)若,則共線。其中正確命題的個數(shù)是_____

A  1  B   2   C  3  D  4

試題詳情

4、向量共線且方向相同,則=_______

試題詳情

5、設(shè)平行四邊形ABCD的對角線交于O,交,則=________

試題詳情

二、典型例題分析:

1、G是的重心,求證:

 

 

 

試題詳情

2、若非零向量滿足,求所成角的大小。

 

 

 

 

 

 

試題詳情

3、已知,且,求M,N的坐標(biāo)和

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

4、已知向量,求

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

5、如圖:已知ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延長線交BA的延長線于F,求證:AF=AE。

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

三、課堂練習(xí):

1.如圖,已知四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,E、F、G、H分別是AD、BC、AB與CD

試題詳情

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        試題詳情

              A.           B.

        試題詳情

              C.          D.

        試題詳情

        2.下列說法正確的是                                                                     ( B   )

              A.方向相同或相反的向量是平行向量

              B.零向量的長度為0

              C.長度相等的向量叫相等向量

              D.共線向量是在同一條直線上的向量

        試題詳情

        3.在△ABC中,D、E、F分別BC、CA、AB的中點(diǎn),點(diǎn)M是△ABC的重心,則

        試題詳情

           等于                                                                                       (  C  )

        試題詳情

              A.                       B.               C.                  D.

        試題詳情

        4.不共線,當(dāng)k=                 時,共線.

        試題詳情

        5.非零向量,則的夾角為   120°                    .

        試題詳情

        6.在四邊形ABCD中,若,則四邊形ABCD的形狀是

               菱形             .

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        §5.2  向量的數(shù)量積

         

        試題詳情

        〖復(fù)習(xí)要求〗1、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的充要條件。2、培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分析問題、解決問題的能力。

        〖雙基回顧〗

        (1).向量的夾角:

        試題詳情

        已知兩個非零向量b,作=, =b,則∠AOB=)叫做向量b的夾角。

        (2).兩個向量的數(shù)量積:

        試題詳情

        已知兩個非零向量b,它們的夾角為,則?b=????b?cos

        試題詳情

        其中?b?cos稱為向量b方向上的投影.

        (3).向量的數(shù)量積的性質(zhì):

        試題詳情

        =(),b=()則e?=?e=??cos  (e為單位向量);

        試題詳情

        b?b=0b為非零向量);??=;

        試題詳情

        cos==

        (4) .向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:

        試題詳情

        ?b=b?;()?b=(?b)=?(b);(b)?c=?c+b?c

        試題詳情

        一、知識點(diǎn)訓(xùn)練:

        1、對于任意向量,的大小關(guān)系是______

        試題詳情

        A  <  B  >  C    D  無法確定

        試題詳情

        2、已知,且垂直,則的夾角為_______

        A  60°  B  90°  C  45°  D  30°

        試題詳情

        3、設(shè)是任意的非零平面向量,且相互不共線,則(1)

        試題詳情

        (2)    (3)不與垂直

        試題詳情

        (4)中,是真命題的有____

        A  (1)(2)  B  (2)(3)  C  (3)4)  D  (2)4)

        試題詳情

        4、已知起點(diǎn)為(1,2),終點(diǎn)為,則=____

        試題詳情

        5、已知,且的夾角為鈍角,則的取值范圍是______

        試題詳情

        A  B  C  D 

        試題詳情

        二、典型例題分析:

        1、判斷下列各命題正確與否;(1)若,則;(2)若,則當(dāng)且僅當(dāng)時成立;(3)對任意向量都成立;(4)對任一向量,有

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        2、三角形ABC中,A(-5,1),B(-1,7),C(1,2),求:(1)BC邊上的中線AM的長。(2)∠CAB的平分線AD的長。(3)cos∠ABC的值。

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        3、已知點(diǎn)A(1,2)和B(4,-1),問能否在軸上找到一點(diǎn)C,使∠ACB=90°,若不能,說明理由,若能,求出C點(diǎn)坐標(biāo)。

         

         

         

         

         

        試題詳情

        4、設(shè),求滿足的坐標(biāo)(O為原點(diǎn))

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        5、a、b為非零向量,當(dāng)a + tb(tÎR)的模取最小值時,(1) 求t的值; (2)求證:b與a + tb垂直

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        三、課堂練習(xí):

        1.設(shè)k∈R,下列向量中,與向量一定不平行的向量是                         (    )

        試題詳情

               A.          B.      C.  D.

        試題詳情

        2.已知點(diǎn)A1、A2、A3、A4的坐標(biāo)分別為、、

        試題詳情

          坐標(biāo)與的坐標(biāo)及的坐標(biāo)這和等于                                                      (    )

               A.(x4x1,y4-y1) B.(x1x4,y1-y4) C.(x3x2,y3-y2) D.(x2x4,y2-y3

        試題詳情

        3.已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),(1,-5),則第四個點(diǎn)的坐

           標(biāo)為                                                                                                                  (   )

               A.(1,5)或(5,-5)                        B.(1,5)或(-3,-5)

               C.(5,-5)或(-3,-5)                 D.(1,5)或(-3,-5)或(5,-5)

        試題詳情

        4.三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的主要條件是                          (    )

               A.x1y2x2y1=0                                      B.(x2x1)(y3-y1)=(x3x1)(y2-y1

               C.x1y3x3y1=0                      D.(x2x1)(x3x1)=(y2-y1)(y3-y1

        試題詳情

        5.下列各組向量中:①, ;, ; ③, . 有一組能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底,正確的判斷是                  (   )

               A.①                      B.①③                   C.②③                   D.①②③

        試題詳情

        6.已知,,若平行,則λ= ±1            .

         (附1~5答案:C A D B A)

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        §5.3   兩點(diǎn)間的距離公式、線段的定比分點(diǎn)與圖形的平移

         

        試題詳情

        〖復(fù)習(xí)要求〗1、掌握兩點(diǎn)間的距離公式及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并能熟練應(yīng)用。2、掌握平移公式。3、培養(yǎng)學(xué)生用化歸思想解決問題的能力。

        〖雙基回顧〗

        試題詳情

        1、P分有向線段所成的比

        試題詳情

        設(shè)P1、P2是直線上兩個點(diǎn),點(diǎn)P是上不同于P1、P2的任意一點(diǎn),則存在一個實(shí)數(shù)使=,叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比。

        試題詳情

        當(dāng)點(diǎn)P在線段上時,>0;當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時,<0;

        試題詳情

        2、分點(diǎn)坐標(biāo)公式:若=的坐標(biāo)分別為(),(),();

        試題詳情

           (≠-1), 中點(diǎn)坐標(biāo)公式:

        試題詳情

        3、平移公式:

         

        試題詳情

        一、知識點(diǎn)訓(xùn)練:

        1、已知A(-1,1),B(3,5),點(diǎn)P分有向線段所成的比為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____

        A  (7,-9)   B  (-7,9)  C  (7,9)   D  (-7,-9)

        試題詳情

        2、把函數(shù)的圖象F按,平移到F/,則F/的函數(shù)式為____

        試題詳情

        A  B  C  D 

        試題詳情

        3、設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線,且它們的縱坐標(biāo)分別為2,5,10,則A點(diǎn)分所得的比為_____

        試題詳情

        A   B  C  D  -

        試題詳情

        4、已知,C為上距A較近的一個三等分點(diǎn),D為上距C較近的一個三等分點(diǎn),則用表示的表達(dá)式為_____

        試題詳情

          B  C  D 

        試題詳情

        二、典型例題分析:

        1、已知點(diǎn)A,B(5,2),線段AB上的三等分點(diǎn)依次為,求點(diǎn)的坐標(biāo)以及A、B分所成的比。

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        2、求證:三角形三條中線交于一點(diǎn),且交點(diǎn)與各頂點(diǎn)的距離等于所在中線長的

         

         

         

        試題詳情

        3、函數(shù)的圖象按向量平移后,圖象的解析式為,求向量。

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        4、設(shè)函數(shù)。

        試題詳情

        (1) 試根據(jù)函數(shù)的圖象作出的圖象,并寫出交換過程;

        試題詳情

        (2) 的圖象是中心對稱圖形嗎?

        試題詳情

        (3) 指出的單調(diào)區(qū)間。

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        5、如圖,的三條高,求證:相交于一點(diǎn)。

        試題詳情

        證:設(shè)交于一點(diǎn),,

        試題詳情

        試題詳情

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        試題詳情

        , ∴

        試題詳情

        又∵點(diǎn)的延長線上,

        試題詳情

        相交于一點(diǎn)。

        試題詳情

        三、課堂練習(xí):

        1、向量滿足,則的最大值和最小值是______

        試題詳情

        2、若點(diǎn)P分所成的比是,則點(diǎn)A分所成的比是____

        試題詳情

        3、把一個函數(shù)的圖象左移個單位,再向下平移2個單位得到的解析式為:

        試題詳情

        ,則原函數(shù)的解析式為_______

        試題詳情

        4、  已知,的夾角,則______;

        試題詳情

        5、  已知上的投影是,則______;

        試題詳情

        6、已知,,則的夾角______

        試題詳情

        §5.4    向量的應(yīng)用

        〖復(fù)習(xí)要求〗理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應(yīng)用,能將當(dāng)前問題轉(zhuǎn)化為可用向量解決的問題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力。

        〖雙基回顧〗

        試題詳情

        1.兩個向量平行的充要條件,設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),為實(shí)數(shù)。(1)向量式:ab(b0)a=b;(2)坐標(biāo)式:ab(b0)x1y2-x2y1=0;

        試題詳情

        2.兩個向量垂直的充要條件, 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:ab(b≠0)ab=0; (2)坐標(biāo)式:abx1x2+y1y2=0;

        試題詳情

        3.設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab==x1x2+y1y2;其幾何意義是ab等于a的長度與ba的方向上的投影的乘積;

        試題詳情

        4.設(shè)A(x1,x2)、B(x2,y2),則SㄓAOB;

        試題詳情

        5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:

        試題詳情

        (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;;

        試題詳情

        (2)若a=(x,y),則a2=aa=x2+y2,;

        試題詳情

        一、知識點(diǎn)訓(xùn)練:

        1、若,且模相等,則四邊形ABCD是_____

        A  平行四邊形  B  梯形  C  等腰梯形  D  菱形

        試題詳情

        2、設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn),則?等于_____

        試題詳情

        A  B  C  3  D  -3

        試題詳情

        3、1┧的重物在兩根細(xì)繩的支持下處于平衡狀態(tài),如圖:已知兩根細(xì)繩與水平分別成30°,60°角,則兩根細(xì)繩受到的拉力為______

        試題詳情

        4、某人以時速向東行走,此時正刮著時速的南風(fēng),那么此人感到的風(fēng)向?yàn)開____風(fēng)速為___

        試題詳情

        二、典型例題分析:

        1、空中有一氣球,在它的正西方A點(diǎn),測得它的仰角為45°,同時在它的南偏東45°的B點(diǎn),測得它的仰角為,A、B兩點(diǎn)間的距離為266米,這兩點(diǎn)均離地1米,問當(dāng)測量時,此氣球離地多少米?

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        2、如圖,用兩根繩子把重10┧的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150°,

        ∠BCW=120°,求A和B處所受力的大小(忽略繩子重量)

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        3、一條河的兩岸平行,河的寬度為,一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對岸B處,船的航行速度為,水流速度。

        試題詳情

        (1)試求的夾角(精確到1°),及船垂直到達(dá)對岸所用的時間(精確到0.1);

        試題詳情

        (2)要使船到達(dá)對岸所用的時間最少,的夾角應(yīng)為多少?

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        4、

         

         

         

        試題詳情

        4、

         

         

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        三、課堂練習(xí):

        1、已知:A(2,3),B(1,4)且,則=______

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        2、已知,且為不共線的非零向量,則的面積可表示為_____

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        3、已知的BC邊長的中點(diǎn)M,則=_____

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        4、運(yùn)用物理中矢量運(yùn)算及向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算,我們知道:(1)若兩點(diǎn)等分單位圓時有相應(yīng)關(guān)系式為:(2)四點(diǎn)等分單位圓時有相應(yīng)關(guān)系式為:

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        ,由此可以推知三等分單位圓時的相應(yīng)關(guān)系式為_______

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        5、已知,且 (1)求的關(guān)系;(2)證明.

         

         

         

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        6、在一很大的湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船,由于纜繩突然斷開,小船被風(fēng)刮跑,其方向與湖岸成15°角,速度為2.5km/h,同時岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開始追趕小船,已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h.

        問此人能否追上小船.若小船速度改變,則小船能被人追上的最大速度是多少?

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        平面向量單元測試題

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        一、選擇題:

        1、  在四邊形ABCD中,設(shè),則=_____

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        A  B  C  D 

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        2、  與平行的單位向量為______

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          B     C      D  

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        3、  已知中,=____

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         B -  C    D  -

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        4、  非零向量的_____

        A  充分而不必要條件  B  必要不充分條件  C  充要條件  D  既不充分也不必要條件

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        5、  已知兩點(diǎn),則點(diǎn)分有向線段所成的比值分別為_

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          B  8  C  和4  D 

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        6、設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)軸和軸正方向上的兩個單位向量,已知

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        ,則四邊形ABCD的面積是____

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        A  20  B  30  C  D  45

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        7、設(shè)A(1,2),B(3,-1),C(3,4),則=____

        A   11   B   5   C  -2   D  1

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        8、將函數(shù)平移使其化簡為反比例函數(shù)表達(dá)式,則=____

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         B  C  D 

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        9、在中,角A、B、C的對邊為,若,則角C等于_

        A  30°  B  45°  C   60°  D  120°

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        10、已知,,且恰有,則A、B、C三點(diǎn)_____

        A   構(gòu)成直角三角形  B  構(gòu)成等腰三角形  C  共線  D  無法確定

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        11、在中,已知,若利用正弦定理解有兩解,則的取值范圍是______   A  B  C    D 

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        12、已知中,若,則是_____

        A  等腰三角形  B  直角三角形  C  等腰直角三角形  D  等腰或直角三角形

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        二、填空題:

        13、已知:A(2,3),B(1,4)且,則=______

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        14、已知,且為不共線的非零向量,則的面積可表示為_____

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        15、已知的BC邊長的中點(diǎn)M,則=_____

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        16、運(yùn)用物理中矢量運(yùn)算及向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算,我們知道:(1)若兩點(diǎn)等分單位圓時有相應(yīng)關(guān)系式為:(2)四點(diǎn)等分單位圓時有相應(yīng)關(guān)系式為:

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        ,由此可以推知三等分單位圓時的相應(yīng)關(guān)系式為_______

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        三、解答題:

        17、已知是兩個不共線非零向量,若

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        (1)    求證:A、B、D三點(diǎn)共線;(2)確定實(shí)數(shù)的值,使共線。

         

         

         

         

         

         

         

         

         

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        18、設(shè)A、B為單位圓上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),(A、O、B不共線)(1)求證:垂直;(2)當(dāng)時,求的正弦值。

         

         

         

         

         

         

         

         

         

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        19、海中有島A,已知A島四周8海里內(nèi)有暗礁,今有一貨輪由西向東航行,在B處望見A島在北偏東75°,行海里至C后見此島在北偏東30°,如貨輪不改變航向繼續(xù)航行,問有無觸礁危險?

         

         

         

         

         

         

         

         

         

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        20、已知,且 (1)求的關(guān)系;(2)證明.

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

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        21、在一很大的湖岸邊(可視湖岸為直線)停放著一只小船,由于纜繩突然斷開,小船被風(fēng)刮跑,其方向與湖岸成15°角,速度為2.5km/h,同時岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開始追趕小船,已知他在岸上跑的速度為4km/h,在水中游的速度為2km/h.

        問此人能否追上小船.若小船速度改變,則小船能被人追上的最大速度是多少?

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

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        22、設(shè)平面向量,若存在不同時為0的兩個實(shí)數(shù),及實(shí)數(shù),使,(1)求函數(shù)關(guān)系式;(2)若是單調(diào)函數(shù),求證:。

         

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        同步練習(xí)冊答案