上海市普陀區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研

                 數(shù)學(xué)試卷 （理科）               2009.04

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

 

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則           . 

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2. 已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若的圖像過點(diǎn)，則           .

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3. 用金屬薄板制作一個直徑為米，長為3米的圓柱形通風(fēng)管.若不計(jì)損耗，則需要原材料          平方米（保留3位小數(shù)）.

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4. 設(shè)、是平面內(nèi)一組基向量，且、，則向量可以表示為另一組基向量、的線性組合，即                .

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5. 右圖是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數(shù)，則其輸出結(jié)果所表示的分段函數(shù)為                  .

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6. 關(guān)于x、y的二元線性方程組 的增廣矩陣經(jīng)過變換，最后得到的矩陣為，則                    .

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7. 在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線和相交于點(diǎn)、，則＝          .

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8. 設(shè)聯(lián)結(jié)雙曲線與（，）的個頂點(diǎn)的四邊形面積為，聯(lián)結(jié)其個焦點(diǎn)的四邊形面積為，則的最大值為            .

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9. 將函數(shù)的圖像向左平移（）個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為           .

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10. 園丁要用紅、黃、藍(lán)、白四種不同顏色的鮮花布置如圖所示圓形花壇的四塊區(qū)域. 要求同一區(qū)域內(nèi)須用同一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域須用不同顏色的鮮花. 設(shè)花圃中布置紅色鮮花的區(qū)域數(shù)量為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望                   .

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11. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對任意的,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是          .

 

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應(yīng)的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內(nèi)），或者沒有填寫在題號對應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.

12. 以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程的一個法向量的是 （    ）

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   A． ；    B. ；    C. ;     D. .

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13. 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)且前項(xiàng)和為.已知向量，滿足，則                                                           （     ）

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   A. ；             B. ;            C. ;              D. .

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14.  在△ABC中，“”是“△ABC為鈍角三角形”的      （     ）

   A．必要非充分條件； B．充分非必要條件； C．充要條件；   D．既非充分又非必要條件.

 

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15. 現(xiàn)有兩個命題：

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（1）     若，且不等式恒成立，則的取值范圍是集合；

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（2）     若函數(shù)，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是集合；

則以下集合關(guān)系正確的是                                      （    ）

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A． ；       B. ；       C. ；      D.  .

 

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三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.

16. （本題滿分12分）過拋物線的焦點(diǎn)且方向向量為的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)，求的值.

 

 

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17. （本題滿分14分） 已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），且.當(dāng)實(shí)數(shù)時，試用列舉法表示滿足條件的的取值集合.

 

 

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18. （本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

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若，（、）.

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(1) 求的值；

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（2）求證：數(shù)列各項(xiàng)均為奇數(shù).

 

 

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19. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

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某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是矩形，其中米，米.上部是個半圓，固定點(diǎn)為的中點(diǎn).是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿（和不重合）.

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（1）當(dāng)和之間的距離為1米時，求此時三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積；

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（3）當(dāng)與之間的距離為多少米時，三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積最大？并求出這個最大面積.

 

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20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

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如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，.

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（1） 求異面直線與所成角的大小；

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（2） 若平面內(nèi)有一經(jīng)過點(diǎn)的曲線，該曲線上的任一動點(diǎn)都滿足與所成角的大小恰等于與所成角. 試判斷曲線的形狀并說明理由；

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（3）在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是（2）題中的曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動點(diǎn)，其中為曲線和的交點(diǎn). 以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)在曲線段上運(yùn)動時，試提出一個研究有關(guān)四面體的問題（如體積、線面、面面關(guān)系等）并嘗試解決.

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【說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質(zhì)量和解決難度分層評分；本小題的計(jì)算結(jié)果可以使用近似值，保留3位小數(shù)】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

上海市普陀區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

 

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

 

…2

 

 

…4

 

…8

 

 

…12

17.（文，滿分12分）

解：因?yàn)?sub>，所以由條件可得，.

即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.

又，

所以，.

 

 

 

…4

 

…6

 

 

…8

 

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因?yàn)?sub>

所以，

即或，

或，

又由，即

當(dāng)時，或；當(dāng)時，或.

所以，集合.

 

 

 

…3

 

 

…7

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當(dāng)時，

 

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法

（i）當(dāng)時，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設(shè)當(dāng)時，，其中為奇數(shù)；

則當(dāng)時，

         

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因?yàn)?sub>

當(dāng)為奇數(shù)時，

則當(dāng)時，是奇數(shù)；當(dāng)時，

因?yàn)槠渲?sub>中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).

綜上可知，各項(xiàng)均為奇數(shù).

 

 

…3

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

…8

 

 

 

 

…10

 

 

 

…14

 

…15

 

 

 

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

…14

 

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

 

 

 

 

…3

 

 

 

…8

 

…10

 

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當(dāng)和之間的距離為1米時，應(yīng)位于上方，

且此時中邊上的高為0.5米.

又因?yàn)?sub>米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當(dāng)在矩形區(qū)域滑動，即時，

的面積；

2如圖（2）所示，當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動，即時，

，故可得的面積

 

；

綜合可得：

（3）1當(dāng)在矩形區(qū)域滑動時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則有；

2當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動時，

，

等號成立，.

因而當(dāng)（米）時，每個三角通風(fēng)窗得到最大通風(fēng)面積，最大面積為（平方米）.

 

 

 

 

…2

 

 

 

 

…4

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

 

…12

 

 

 

 

 

 

…15

 

 

 

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

因?yàn)殡p曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設(shè)、為雙曲線直線的兩個交點(diǎn).

因?yàn)?sub>，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo).

   ①當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時.

 ②當(dāng)直線與軸垂直時，可得點(diǎn),，

 若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

 

 

 

 

 

 

…3

 

 

 

…5

 

 

 

 

 

 

…7

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

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…13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…16

 

 

…17

 

…18

 

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因?yàn)?sub>，又平面，

所以平面，則有.

    因?yàn)?sub>，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與所成角的大小為.

（2）解法一：由條件，過作，垂足為，聯(lián)結(jié).

于是有，故與所成角即為.

在平面中，以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)動點(diǎn)，

則有

又平面

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