甘肅省張掖市2009年普通高中高三第一次模擬考試
數(shù)學(xué)文科
(滿分:150分 時(shí)間:120分鐘)
一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的).
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2. 的各項(xiàng)系數(shù)之和為16,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
A.6 B.6 C. D. 或4
3.某林場(chǎng)有樹苗30000棵,其中松樹苗4000棵.為調(diào)查樹苗的生長(zhǎng)情況,采用 分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本,則樣本中松樹苗的數(shù)量為( 。
A.30 B.25 C.20 D.15
4.若,則下列不等式① a+b<ab;② |a|>|b|;③ a<b;④ 中,正確的不等式有( 。
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
5.過點(diǎn)與圓相交的所有直線中,被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)的直線方程是( )
A. B. C. D.
6.集合A={2,4,6,8,10},集合B={1,3,5,7,9},從集合A中任選一個(gè)元素a,從集合B中任選一個(gè)元素b,b<a的概率是( 。
A. B.
7. 函數(shù)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線,則的圖象的頂點(diǎn)在( 。
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2,分別為、的中點(diǎn),則與所成角的余弦值為( 。
A. 0 B. C. D.
9.給出定義:連接平面點(diǎn)集內(nèi)任意兩點(diǎn)的線段中,線段的最大長(zhǎng)度叫做該平面點(diǎn)集的長(zhǎng)度.已知平面點(diǎn)集M由不等式組給出,則點(diǎn)集M的長(zhǎng)度是( 。
A. B. C. D.
10. 函數(shù)的反函數(shù)圖像是( )
11.有限數(shù)列,它的前n項(xiàng)的和為Sn,定義為A的“凱森和”,若有99項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為1000,則有100項(xiàng)的數(shù)列1,的“凱森和”為( )
A.991 B.990 C.1000 D.999
12. 已知F1、F2為橢圓E的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),拋物線C以F1為頂點(diǎn),F(xiàn)2為焦點(diǎn),設(shè)P為橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),如果橢圓的離心率e滿足,則e為( 。
A. B. C. D.
二.填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分).
13. 已知向量,若與垂直,則 .
14. 按ABO血型系統(tǒng)學(xué)說,每個(gè)人的血型為A,B,O,AB型四種之一,依血型遺傳學(xué),當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是AB型時(shí),子女的血型一定不是O型,若某人的血型的O型,則父母血型的所有可能情況有 種. 15. 函數(shù)y=ax2-2x的圖像上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于1,則a的取值范圍是 .
16.函數(shù)的圖象為,給出如下結(jié)論:①圖象關(guān)于直線對(duì)稱;②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);④由的圖角向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象.
其中正確的是 (寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).
三.解答題(本大題共6小題,其中第17小題10分,18―22小題每小題12分, 共70分).
17.已知f(x)=
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
18.在一次籃球練習(xí)課中,規(guī)定每人投籃5次,若投中2次就稱為“通過” ,若投中3次就稱為“優(yōu)秀”并停止投籃。已知甲每次投籃投中概率是.
(1)求甲恰好投籃3次就“通過”的概率;
(2)求甲投籃成績(jī)“優(yōu)秀”的概率.
19. 如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直⊙O所在的平面,C為⊙O上一點(diǎn),H為PC的中點(diǎn),已知AB=2,AC=,二面角
P―BC―A的大小為.
(1)求證:面PBC⊥面PAC;
(2)求AB與面PBC所成的角的正弦;
(3)求點(diǎn)P到平面ABH的距離.
20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且(為正整數(shù)).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記S=,若對(duì)任意正整數(shù),恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
21.已知雙曲線C:(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-2,0)和F2(2,0),點(diǎn)P(3, )在曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程
22.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[-1,1]內(nèi)沒有極值點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)若對(duì)任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范圍.
2009年張掖市普通高中高三聯(lián)合考試
文 科 數(shù) 學(xué) 參 考 答 案
一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的).
BACBCD ABBCAB
二.填空題(本大題共四小題,每小題5分,共20分)
13. 2 14. 9 15. a<-1或a=0或a>1 16. ①②③
三.解答題(本大題共6小題,其中第17小題10分,18―22小題每小題12分, 共70分).
17. 解:(1)f(x)=
…………………………………………………………………4分
∴
……………………………………………………………………6分
(2)由y=f(x)遞增2kπ-(k∈Z) …………………8分
解得:kπ-(k∈Z)
故遞增區(qū)間為:(k-,k+)(k∈Z). ………………………………10分
18. 解:(1)前2次中恰有一次投中且第3次也投中,
∴………5分
(2)……………………12分
19. 解:(1)證明:
面PBC⊥面PAC. ……………………………………………………………4分
(2)由(1)知:BC⊥面PAC二面角P―BC―A平面角為∠PCA=.
則AH⊥PC,易知,AH⊥面PBC;
∴BH為AB在面PBC上射影.
∴∠ABH即為AB與面PBC所成的角. …………6分
可求:AH=AC?sin=
故在△AHB中,sin∠ABH= …………8分
(3)設(shè)P到面ABH的距離為d,
則 =d=??AH?BH?d=???d.
=?BC=?AH?PH?BC=????1.
由=可得d=. ……………………………………………12分
20. 解:(1), ①
當(dāng)時(shí),. ②
由 ① - ②,得.
. …………………………………………………… 3分
又 ,,解得 .
數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
(為正整數(shù)). …………………………………6分
(2)由(1)知, . ………… 8分
由題意可知,對(duì)于任意的正整數(shù),恒有,解得 .
數(shù)列單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),數(shù)列中的最小項(xiàng)為,
必有,即實(shí)數(shù)的最大值為. ………………………………12分
21. 解:(1)解法1:依題意a2+b2=4,得雙曲線方程為(0<a2<4)
將點(diǎn)(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,
故所求雙曲線方程為 ………………………………………6分
解法2:依題意得,雙曲線的半焦距c=2.
2a=|PF1|-|PF2|=
∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴雙曲線C的方程為
(2)解法1:依題意,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理得 (1-k2)x2-4kx-6=0. ①
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,
∴
∴k∈(-)∪(1,). ② …………………………………8分
設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
又原點(diǎn)O到直線l的距離d=,
∴SΔOEF=
若SΔOEF=,即解得k=±,滿足②.故滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=和
……………………………………………………………………………12分
22. 解:(1)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a),
又a>0,∴當(dāng)x<-a或x>時(shí)f′(x)>0;
當(dāng)-a<x<時(shí),f′(x)<0.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a),(,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為
(-a,). ……………………………………………………………………4分
(2)由題設(shè)可知,方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上沒有實(shí)根
∴,解得a>3. …………………………………………………8分
(3)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知∈[1,2],-a≤-3
又x∈[-2,2]
∴f(x)max=max{f(-2),f(2)}
而f(2)-f(-2)=16-4a2<0
∴f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m ………………………………………10分
又∵f(x)≤1在[-2,2]上恒成立
∴f(x)max≤1即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2,在a∈[3,6]上恒成立
∵9-4a-2a2的最小值為-87
∴m ≤-87. …………………………………………………………12分
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