保密 ★ 啟用前 【考試時間:2009年4月21日下午15:00―17:00】
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綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試
數(shù) 學(xué)(文科)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷.全卷150分.第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至10頁.考試結(jié)束后,將第Ⅱ卷和答題卡兩部分一并交回.
第Ⅰ卷(選擇題,共60分)
注意事項:
1.答第I卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目用4B或5B鉛筆涂寫在答題卡上.
2.每小題選出答案后,用4B或5B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,不能答在試題卷上.
3.參考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A + B)= P(A)+ P(B);
如果事件A、B相互獨立,那么P(A?B)= P(A)?P(B);
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為P,那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為 ;
正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式 ,其中c表示底面周長,l表示斜高或母線長;
球的體積公式 ,其中R表示球的半徑.
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,把它選出來填涂在答題卡上.
1.若集合P = { y?y = lg x,x>1 },Q = {-2,-1,1,2 },則 (RP )∩Q等于
A.{-2,-1,1,2 } B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.{-2,-1 }
2.設(shè)a = log32,b = log23,c = log25,則
A.a(chǎn)<b<c B.a(chǎn)<c<b C.b<a<c D.b<c<a
3.函數(shù)(x≠0)的反函數(shù)的圖象大致是
A. B. C. D.
4.若向量a =(1, m)和b =(
A.2或0 B.
5.過點A(0,1)與圓x2 + y2-2x-3 = 0相交的所有直線中,被圓截得的弦最長時的直線方程是
A.x = 0
B.x + y-1 =
6.若實數(shù)x、y滿足約束條件 則2x + 3y的最大值為
A.2
B.
7.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x + 4)= f(x),當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)= x + 2,則f(7)=
A.-3 B.
8.已知直線a、b、c和平面a,則a∥b的一個必要不充分條件是
A.a⊥c且b⊥c B.a∥c且b∥c
C.a∥a 且b∥a D.a、b與a 所成角相等
9.從8名學(xué)生(其中男生6人,女生2人)中按性別用分層抽樣的方法抽取4人參加接力比賽,若女生不排在最后一棒,則不同的安排方法種數(shù)為
A.1440 B.
10.△ABC中,角A滿足sin
A.0<A≤ B.0<A≤ C.≤A≤ D.≤A<
11.若橢圓(a>b>0)的離心率,右焦點為F(c,0),方程ax2 + 2bx + c = 0的兩個實數(shù)根分別是x1和x2,則點P(x1,x2)到原點的距離為
A. B. C.2 D.
12.已知函數(shù) 給出函數(shù)f(x)的下列五個結(jié)論:
① 最小值為; ② 一個單增區(qū)間是(,);③ 其圖象關(guān)于直線(k∈Z)對稱; ④ 最小正周期為2p; ⑤ 將其圖象向左平移后所得的函數(shù)是奇函數(shù). 其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A.1
B.
綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試
數(shù) 學(xué)(文科)
第Ⅱ卷(共90分)
注意事項:
1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中.
2.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.
題號
二
三
總分
總分人
總 分
復(fù)查人
17
18
19
20
21
22
分數(shù)
得分
評卷人
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.
13.等比數(shù)列 { an } 中,若a1,a7,a4 成等差數(shù)列,則數(shù)列{ an }的公比為 .
14. 的展開式中常數(shù)項等于 .
15.已知不平行于x軸的直線y = kx + b(b>0)與拋物線x2 = 2py(p>0)交于A、B兩點,點A、B到y軸的距離的差等于2k,則拋物線的焦點坐標(biāo)為 .
16.設(shè)A、B、C是球面上三點,線段AB = 2,若球心到平面ABC的距離的最大值為,則球的表面積等于 .
得分
評卷人
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分12分)
在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c.
(1)若sin C + sin(B-A)= sin
(2)若△ABC的面積S = 3,且c =,C =,求a,b的值.
得分
評卷人
18.(本題滿分12分)
春暖大地,萬物復(fù)蘇.目前已進入綠化造林的黃金季節(jié),到處都能看到綠化工人(綠化員)和參加義務(wù)植樹的百姓植樹種草、綠化環(huán)境的身影.某8人(5男3女)綠化組,為了提高工作效率,開展小組間的比賽,現(xiàn)分成A、B兩個小組,每個小組4人.
(1)求A組中恰有一名女綠化員的概率;
(2)求A組中至少有兩名女綠化員的概率.
得分
評卷人
19.(本題滿分12分)
四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.ABCD是矩形,BC = 2 CD = 2.又 PA = PD,∠APD = 90°,E、G分別是BC、PE的中點.
(1)求證:AD⊥PE;
(2)求二面角E-AD-G的大;
(3)求點D到平面AEG的距離.
得分
評卷人
20.(本題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)= mx3-x2 + 13(m∈R).
(1)當(dāng)m =時,求f(x)的極值;
(2)當(dāng)m≠0時,若f(x)在(2,+∞)上是單調(diào)的,求m的取值范圍.
得分
評卷人
21.(本題滿分12分)
已知雙曲線(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,F(2,0)是它的一個焦點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過點F作互相垂直的兩條直線l1、l2,l1交雙曲線于A、B兩點,l2交雙曲線于C、D兩點,求的值.
得分
評卷人
22.(本題滿分14分)
已知數(shù)列 { an } 的前n項和為Sn,對任意n∈N*,有.
(1)求證:數(shù)列 { an + 1 } 是等比數(shù)列,并求數(shù)列{ an } 的通項公式;
(2)求數(shù)列 { nan } 的前n項和Tn;
(3)求證:當(dāng)n≥3時,an≥.
綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試
數(shù)學(xué)(文科)參考解答及評分標(biāo)準
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.q = 1或 14.- 15.(0,) 16.16p
三、解答題:本大題共6小題,共74分.
17.(1)由題意得 sin(B + A)+ sin(B-A)= sin
sin B cos A = sin A cos A,即 cos A(sin B-sin A)= 0,
∴ cosA = 0 或 sin B = sin A. …………… 4分
因A,B為三角形中的角,于是或B = A.
所以△ABC為直角三角形或等腰三角形. …………… 6分
(2)因為△ABC的面積等于 3,所以 ,得 ab = 12.
由余弦定理及已知條件,得 a2 + b2-ab = 13.
聯(lián)立方程組 解得或 …………… 12分
18.(1)設(shè)“A組中恰有一名女綠化員”為事件A1,
則 . …………… 6分
(2)設(shè)“A組中至少有兩名女綠化員”為事件A2,
有. …………… 12分
或 .
19.(1)如圖,取AD的中點O,連結(jié)OP,OE,于是OP⊥AD.
∵ 側(cè)面PAD⊥底面ABCD, ∴ OP⊥面ABCD.
∵ E是矩形ABCD的邊BC的中點,
∴ OE∥AB,∴ OE⊥AD,從而 AD⊥PE.…… 4分
(2)取OE的中點F,連結(jié)FG,OG,則 FG∥OP,
∴ FG⊥面ABCD,AD⊥OG,
∴ ∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角.
∵ FG =OP =,OF =CD =,
∴ ∠GOE = 45°,即二面角E-AD-G的大小為45°. …………… 8分
(3)由(1)知,O是AD的中點,所以點D到面AEG的距離等于點O到面AEG的距離h的2倍.
∵ VP-AOE =S△AOE×OP =×AO ?OE ? OP =.
又 AE = AP = PE =,∴ VO-AEP =S△AEP ? h =×? h =h,
從而由 VP-AOE = VO-AEP 得 h =,故點D到面AEG的距離等于.
…………… 12分
另解(2) 以O(shè)為原點,OE、OD、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),D(0,1,0),E(1,0,0),G(,0,),∴ ,1,),,1,).
設(shè)平面ADG的一個法向量為n1 =(x1,y1,z1),
則 且 ,于是y1 = 0,令 x1 = 1,得 n1 =(1,0,-1).顯然平面ADE的一個法向量可以為n2 =(0,0,1).
∵ cos<n1,n2>==,∴ <n1,n2> = 135°.
由題圖可知二面角E-AD-G的大小為45°.
20.(1)當(dāng)m =時,由 f ′(x)= x2-2x = 0,得 x = 0 或 x = 2.
所以當(dāng)x∈(-∞,0)時,f ′(x)>0;x∈(0,2)時,f ′(x)<0;x∈(2,+∞)時, f ′(x)>0.
因此x = 0時,f(x)取極大值,f(x)極大 = f(0)= 13;x = 2時,
f(x)取極小值,f(x)極小= f(2)=. …………… 6分
(2)f ′(x)= 3mx2-2x,因為m≠0,所以f ′(x)的圖象是拋物線,與x軸始終有兩個交點(0,0)與(,0).
若f(x)在(2,+∞)上是單調(diào)的,即f(x)在(2,+∞)上恒有
f ′(x)≥0 或f ′(x)≤0.
當(dāng)m<0時,拋物線開口向下,與x軸正方向無交點,在(2,+∞)上恒有f ′(x)<0;
當(dāng)m>0時,拋物線開口向上,與x軸正方向的交點為(,0),只需≤2,解得m≥.
綜上,m的取值范圍是(-∞,0)∪,+∞). …………… 12分
21.(1)∵ 雙曲線的漸近線方程為,∴ ,
得 a2 = b2,于是 c2 =
a2 + b2 =
所以雙曲線的方程為. …………… 3分
(2)① 當(dāng)直線l1、l2其中一條與x軸垂直,不妨設(shè)l1⊥x軸時,
則 ,,,.
∴ ,,
∴ . …………… 5分
② 當(dāng)直線l1、l2都不與x軸垂直時,
設(shè)l1:y = k(x-2),k≠0,則 l2:.
由 消去y,整理得(k2-1)x2-4k2x + 4k2 + 2 = 0.
∵ l1與雙曲線有兩個交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
∴ ,,且 得 k≠±1.
又 y1y2 = k (x1-2) k (x2-2),,,
∴ (1 + k2 )(x1-2) (x2-2)
= (1 + k2) [ x1x2-2(x1 + x2) + 4 ] =. ………… 8分
以代k得 , ∴ .
綜合①②,得. …………… 12分
22.(1)∵ 對任意n∈N*,有,且 S1 = a1,
∴ ,得a1 = 2. …………… 1分
又由,得 Sn =.
當(dāng)n≥2且n∈N* 時,
有 an = Sn-Sn-1 =-=,
即 an-3an-1 = 2, ∴ an + 1 = 3(an-1 + 1),
由此表明 { an + 1 } 是以 a1 + 1 = 3為首項,3為公比的等比數(shù)列,
∴ an + 1 = 3 ? 3n-1,有an = 3n-1.
故數(shù)列 { an } 的通項公式為an = 3n-1. …………… 5分
(2)nan = n(3n-1)= n ? 3n-n,設(shè)數(shù)列 { n ? 3n } 的前n項和為Kn,
則 Kn = 1 ? 31 + 2 ? 32 + 3 ? 33 + … + n ? 3n,
∴ 3Kn = 1 ? 32 + 2 ? 33 + 3 ? 34 + … +(n-1)3n + n ? 3n+1,
兩式相減,得
-2Kn = 31 + 32 + 33 + … + 3n-n ? 3n+1 =-n ? 3n+1,
∴ ,
因此 . …………… 9分
(3)3n-1 =(2 + 1)n-1 = (+++…+)-1,
因為n≥3,則展開式至少有四項,
所以 (+++ … +)-1
≥+++-1 =
≥==,不等式成立.
…………… 14分
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