2009屆高三10月期中試題

數(shù)學(xué)（理科）

 

一、選擇題：（本大題共有10個小題，每小題5分，共50分。每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。）

1、已知集合，，若，則等于

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A、1       B、2       C、1或      D、1或2

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2、若p、q為簡單命題，則“p且q為假”是“p或q為假”的

 A、充分不必要的條件                 B、必要不充分的條件

 C、充要條件                         D、既不充分也不必要的條件

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3、直線的傾斜角是

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A、　　      　　 B、　　    　　　 C、　 　　 D、

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4、設(shè)函數(shù)f(x)=在點x=1處連續(xù)，則a等于

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A、-              B、           C、-          D、

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5、若函數(shù)內(nèi)為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍

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A、        B、      C、        D、

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6、已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)與直線y=的交點中，距離最近的兩點間的距離為,那么此函數(shù)的最小正周期是

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   A、               B、π                   C、2π              D、4π

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7、設(shè)Sn、Tn分別為等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和，若＝，則等于
A、            B、           C、           D、

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8、已知為與中較小者，其中，若的值域為，則的值是

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A、0 　   　 B、　　　　　 C、   　  D、

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9、給出下列四個函數(shù)

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f(x)=-   g(x)=1-||x|-1|;

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φ(x)=h(x)=及它們的圖象

則圖象①，②，③，④分別對應(yīng)的函數(shù)為

A、φ(x),h(x),g(x),f(x)                    B、φ(x),g(x),h(x),f(x)

B、φ(x),h(x),f(x),g(x)                    D、φ(x),g(x),f(x),h(x)

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10、已知方程的取值范圍

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A、       B、      C、       D、

 

 

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二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11、函數(shù)的反函數(shù)是　　   　　。

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12、等差數(shù)列{an}中，a1a4a10a16a19150,則的值是       。

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13、函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，且值域為，則它的反函數(shù)的值域是____________________。

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14、值是             。

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15、若函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且，給出下列結(jié)論：

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①；②以4為周期；③的圖象關(guān)于軸對稱；④、

這些結(jié)論中正確的有____________（必須填寫序號）。

 

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三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16、(本小題滿分12分)已知集合，

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   （1）當(dāng)時，求A∩；（2）若，求實數(shù)的值。

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17、(本小題滿分12分)

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   已知向量

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   (1)求sinα-cosα的值；  (2)求的值。

 

 

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18、(本小題滿分12分)已知是數(shù)列的前項和，，且，其中。

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(1)求數(shù)列的通項公式；   (2)計算的值。

 

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19、（本題滿分13分）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，0）對稱。

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   （1）求函數(shù)的表達(dá)式；

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   （2）設(shè)函數(shù)R），求的最小值。

 

 

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20、（本題滿分13分）定義函數(shù)

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   （1）求證

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   （2）設(shè)

 

 

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21、(本小題滿分13分)

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設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且對任意n∈N*都有a+a+a,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和。

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(1)求證：a;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

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(3)設(shè)bn=3n+(-1)n-1λ? (λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*,都有bn+1>bn成立。

 

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

D

A

B

C

D

C

a

二 填空題：

11：f－1(x)＝lnx－1 (x>0).      12：-30

 

13：                      14：1

 

15：①②④;

 

三、解答題

16．………………………………………………… 2分

⑴當(dāng)時，，………………………………… 3分

則，…………………………………… 5分

      ∴＝｛x│3≤x≤5｝………………………………………… 7分

⑵∵，，

    ∴有，解得，……………………………  10分

此時，符合題意．………………………… 12分

17．解：⑴∴=(sinα,1)共線      

  ∴sinα+cosα=………………………………… 2分

故sin2α=-

從而(sinα-cosα)2=1-sin2α=……………………… 4分

∴α∈(-)∴sinα<0，cosα>0

∴sinα-cosα=-……………………………………………6分

⑵∵=2cos2α=1+cos2α…9分

又cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=

∴原式=1+…………………………………………………… 12分

18. 解：⑴

　　　　　....................................2分

又也滿足上式，

　　　　　（）

數(shù)列是公比為2，首項為的等比數(shù)列...........4分

...........................6分

⑵

　

　　.................9分

于是...................12分

19．⑴設(shè)

    …………………………2分

                                     …………4分

    ⑵由⑴，得

                    

                          …………6分

（i）當(dāng)

                          …………8分

（ii）

                        …………10分

（iii）當(dāng)

                            …………12分

綜上所述，   ………………………………13分

20．解：⑴令 ………………………… 1分

……………………………………… 2分

當(dāng)－2＜x≤0時 g’‘（x）≤0；當(dāng)x＞0時，g‘（x）＞0…………………… 3分

∴g（x）在（－2，0上遞減，在（0，+∞）上遞增……………………… 4分

則x=0時  g（x）min=g（0）=0   g（x）≥g（x）min=0   ………………… 5分

 即fn（x）≥nx                                    ……………… 6分

⑵∵         即…………… 7分

           易得x0＞0 …………………………… 9分   

而

由⑴知x＞0時（1+x）n＞1+nx  故2n+1=（1+1）n+1＞n+2    ∴x0＜1… 12分

綜上0＜x0＜1                       ……………………………… 13分

21．解：⑴由已知，當(dāng)n=1時，a,∵a1>0,∴a1=1. ………… 1分

當(dāng)n≥2時，…+     ①

             …+        ②

由①―②得，a……………………………………………3分

∵an>0, ∴a=2Sn-1+an，即a=2Sn-an，

當(dāng)n=1時，∴a1=1適合上式，

∴a………………………………………………………5分

⑵由⑴知，a,即a=2Sn-an(n∈)③

當(dāng)n≥2時，a=2Sn-1-an-1             ④

由③―④得，

a=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1……………………………7分

∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，

可得an=n. …………………………………………………………………9分

(3)∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ?=3n+(-1)n-1λ?2n, …………………10分

要使bn+1> bn恒成立，

bn+1-bn=3n+1+(-1)nλ?2n+1-[3n+(-1)n-1λ?2n]

        =2?3n-3λ(-1)n-1?2n>0恒成立

則（-1）n-1?λ<()n-1恒成立…………………………………………11分

當(dāng)n為奇數(shù)時，即為λ<()n-1恒成立

又()n-1的最小值為1，       ∴λ<1

當(dāng)n為偶數(shù)時，即為λ>-()n-1恒成立

又-()n-1最大值為-         ∴λ>-……………………………12分

∴-<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1    ∴λ=-1，使得對任意n∈，都有bn+1>bn……………13分

 

 

 


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