北京先知文化中心2009屆高三模擬測(cè)試（二）

數(shù)學(xué)文科試題

（試卷總分150分 考試時(shí)間120分鐘）

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.）

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二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）

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三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．

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1．解析：，故選A。

2．解析：抽取回族學(xué)生人數(shù)是，故選B。

3．解析：由，得，此時(shí)，所以，，故選C。

4．解析：∵∥，∴，∴，故選C。

5．解析：設(shè)公差為，由題意得，；，解得或，故選C。

6．解析：∵雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴雙曲線的漸近線方程是,故選D.

7.解析：∵、為正實(shí)數(shù)，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.

8．解析：∵，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，故選D。

9．解析：∵

，∴此函數(shù)的最小正周期是，故選C。

10．解析：如圖，∵正三角形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，又∵，∴，故選D。

11．解析：∵在區(qū)間上是增函數(shù)且，∴其反函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，故選A

12．解析：如圖，①當(dāng)或時(shí)，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當(dāng)或時(shí)，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；

③當(dāng)時(shí)，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。

13．解析：將代入結(jié)果為，∴時(shí)，表示直線右側(cè)區(qū)域，反之，若表示直線右側(cè)區(qū)域，則，∴是充分不必要條件。

14.解析：∵，∴時(shí)，，又時(shí)，滿足上式，因此，。

15．解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，連，取的中點(diǎn)，連，∵為的中點(diǎn)，∴∥，∴或其補(bǔ)角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。

16．解析：∵，∴，∵點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，由向量的加法法則及拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)為拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)且做出圖形如右圖，其中為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴。………………………10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科會(huì)考不合格的概率均為，∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率為�！�…………………12分

19．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，

 ，，………………………3分

（Ⅱ）∵，∴，

∴，

又，∴數(shù)列自第2項(xiàng)起是公比為的等比數(shù)列，………………………6分

∴，………………………8分

（Ⅲ）∵，∴，………………………10分

∴�！�……………………12分

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴�！�……………………4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為�！�……………………8分

（Ⅲ）過點(diǎn)做∥，交于點(diǎn)，∵平面，∴為在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分

∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為�！�……………………12分

解法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）∵，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，∴，，設(shè)，∵平面，∴，∴，取，∴，∴�！�……………………4分

（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分

（Ⅲ）設(shè)與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為�！�……………………12分

21.解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，將代入方程得

所以拋物線方程為。………………………2分

由題意知橢圓的焦點(diǎn)為、。

設(shè)橢圓的方程為，

∵過點(diǎn)，∴，解得，，，

∴橢圓的方程為�！�……………………5分

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，的方程為：，

以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為。

設(shè)，則

∵  

………………………8分

 

∴

………………………10分

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)，直線的方程為�！�……………………12分

22．(12分)解析：（Ⅰ）∵是偶函數(shù)，∴，

又∵∴，，………………………2分

由得，，

∵時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴時(shí)，函數(shù)取得極大值，時(shí)，函數(shù)取得極小值�！�……………………5分

（Ⅱ）∵在區(qū)間上為增函數(shù)，∴在上恒成立，∴

且在區(qū)間上恒成立，………………………7分

∴

∴……………………9分

又∵=，∵

∴，∴的取值范圍是�！�……………………12分