北京先知文化中心2009屆高三模擬測試(二)
數(shù)學理科試題
(試卷總分150分 考試時間120分鐘)
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的.)
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.設,則( )
A. B. C. D.
3.已知集合,集合,則( )
A. B. C. D.
4.已知向量,,則與共線是與共線的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C.充要條件D. 既不充分也不必要條件
5.已知正項等差數(shù)列的前6項和為9,成等比數(shù)列,則數(shù)列的公差為( )
A. B. C.或 D. 或
6.若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的,則此雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
7.設、為正實數(shù),則下列不等式恒成立的是( )
①;②;③;④。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8.設是展開式的中間項,若在區(qū)間上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.函數(shù)的最小值是( )
A. B. C. D.
10.用平面截半徑為的球,若截面圓的內(nèi)接正三角形的邊長亦為,則三棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
11.設是函數(shù)的反函數(shù),則與的大小關系為( )
A. B.
C. D
12.直線,將圓面分成若干塊,現(xiàn)用5種顏色給這若干塊涂色,每塊只涂一種顏色,且任意兩塊不同色,共有120種涂法,則m的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把正確的答案填在指定位置上)
13.若實數(shù)滿足,則的最大值為 。
14.已知數(shù)列的前項和比集合的子集個數(shù)少1,則 。
15.如圖,正四面體中,是底面上的高,為的中點,則與所成角的余弦值為 。
16,已知點為的準線與軸的交點,點為焦點,點為拋物線上兩個點,若,則向量與的夾角為 。
三.解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟).
17.(本小題滿分10分)
已知的內(nèi)角的對邊分別為,其中,,
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若,求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A,B,C,D四個等級,其中等級D為會考不合格,某學校高三學生甲參加語文、數(shù)學、英語三科會考,三科會考合格的概率均為,每科得A,B,C,D 四個等級的概率分別為,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若有一科不合格,則不能拿到高中畢業(yè)證,求學生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率;
(Ⅲ)若至少有兩科得A,一科得B,就能被評為三好學生,則學生甲被評為三好學生的概率;
(Ⅳ)設為學生甲會考不合格科目數(shù),求的分布列及的數(shù)學期望。
19.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(為常數(shù)).
(Ⅰ)當時,求的極值;
(Ⅱ)若在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形,底面,∥,,,點、分別在棱、上,且平面,
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的正切值的大小;
(Ⅲ)求與平面所成角正切值的大小。
21.(本小題滿分12分)
已知雙曲線:的離心率為,過右焦點做漸近線:的平行線
交雙曲線與點,若,
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和,且
其中為原點,求的范圍。
22.(本小題滿分12分)
為數(shù)列的前項和且滿足,若,則
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設,求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)設,求證:。
1.解析:,故選A。
2.解析:∵
,
故選B。
3.解析:由,得,此時,所以,,故選C。
4.解析:顯然,若與共線,則與共線;若與共線,則,即,得,∴與共線,∴與共線是與共線的充要條件,故選C。
5.解析:設公差為,由題意得,;,解得或,故選C。
6.解析:∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的,∴,又∵,∴,∴,∴雙曲線的離心率是。故選B.
7.解析:∵、為正實數(shù),∴,∴;由均值不等式得恒成立,,故②不恒成立,又因為函數(shù)在是增函數(shù),∴,故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8.解析:∵,∴在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,∴,故選D。
9.解析:∵
,此函數(shù)的最小值為,故選C。
10.解析:如圖,∵正三角形的邊長為,∴,∴,又∵,∴,故選D。
11.解析:∵在區(qū)間上是增函數(shù)且,∴其反函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),∴,故選A
12.解析:如圖,①當或時,圓面被分成2塊,涂色方法有20種;②當或時,圓面被分成3塊,涂色方法有60種;
③當時,圓面被分成4塊,涂色方法有120種,所以m的取值范圍是,故選A。
13.解析:做出表示的平面區(qū)域如圖,當直線經(jīng)過點時,取得最大值5。
14.解析:∵,∴時,,又時,滿足上式,因此,,
∴。
15.解析:設正四面體的棱長為,連,取的中點,連,∵為的中點,∴∥,∴或其補角為與所成角,∵,,∴,∴,又∵,∴,∴與所成角的余弦值為。
16.解析:∵,∴,∵點為的準線與軸的交點,由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知,點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖,其中為點到準線的距離,四邊形為菱形,∴,∴,∴,∴,∴,∴向量與的夾角為。
17.(10分)解析:(Ⅰ)由正弦定理得,,,…2分
∴,,………4分
(Ⅱ)∵,,∴,∴,………………………6分
又∵,∴,∴,………………………8分
∴!10分
18.解析:(Ⅰ)∵,∴;……………………理3文4分
(Ⅱ)∵三科會考不合格的概率均為,∴學生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率;……………………理6文8分
(Ⅲ)∵每科得A,B的概率分別為,∴學生甲被評為三好學生的概率為!12分
∵,,,!9分
∴的分布列如下表:
0
1
2
3
∴的數(shù)學期望!12分
19.(12分)解析:(Ⅰ)時,
,,
由得, 或 ………3分
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
, ………………………6分
(Ⅱ)在定義域上是增函數(shù),
對恒成立,即
………………………9分
又(當且僅當時,)
………………………4分
20.解析:(Ⅰ)∵∥,,∴,∵底面,∴,∴平面,∴,又∵平面,∴,∴平面,∴!4分
(Ⅱ)∵平面,∴,,∴為二面角的平面角,………………………6分
,,∴,又∵平面,,∴,∴二面角的正切值的大小為!8分
(Ⅲ)過點做∥,交于點,∵平面,∴為在平面內(nèi)的射影,∴為與平面所成的角,………………………10分
∵,∴,又∵∥,∴和與平面所成的角相等,∴與平面所成角的正切值為!12分
解法2:如圖建立空間直角坐標系,(Ⅰ)∵,,∴點的坐標分別是,,,∴,,設,∵平面,∴,∴,取,∴,∴!4分
(Ⅱ)設二面角的大小為,∵平面的法向量是,平面的法向量是,∴,∴,∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
(Ⅲ)設與平面所成角的大小為,∵平面的法向量是,,∴,∴,∴與平面所成角的正切值為!12分
21.(Ⅰ) 解析:如圖,設右準線與軸的交點為,過點分別向軸及右準線引垂線,∵,∴,又∵ ∥,∴,………………………2分
∴,又∵,∴,又∵,解得,∴,∴雙曲線的方程為。………………………4分
(Ⅱ)聯(lián)立方程組 消得:
由直線與雙曲線交于不同的兩點得:
即 于是 ,且 ………………①………………………6分
設、,則
……………………9分
又,所以,解得 ……………②
由①和②得 即 或
故的取值范圍為。………………………12分
22.(12分)解析:(Ⅰ)∵,∴,∴,∴數(shù)列是等差數(shù)列,………………………2分
又∵,,∴公差為2,
∴,………………………4分
(Ⅱ)∵,∴,
∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,
∵,∴,………………………6分
(Ⅲ)∵,
∴………………………8分
∴………………………10分
∵,∴,又∵,∴………………………12分
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