本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿(mǎn)分共150分?荚嚂r(shí)間為120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(每小題5分,共60分。下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意,請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在答題卡上)
1.已知為 ( )
A.(-1,1) B.(0,a) C.(0,1) D.
2.(理科)復(fù)數(shù)等于 ( )
A. B. C. D.
(文科)已知向量a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若a//b,則x= ( )
A .6
B .
3.我們知道,函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換可以得到的圖象,則這種變換可以是 ( )
A. 沿x軸向左平移個(gè)單位 B.沿x軸向右平移個(gè)單位
C.沿x軸向右平移個(gè)單位 D.沿x軸向左平移個(gè)單位
4.(理科)已知函數(shù) 在點(diǎn)處連續(xù),則的值是 ( )
A.2 B.
(文科)曲線在點(diǎn)(1,6)處的切線方程為 ( )
A. B. C. D.
5.(理科)在等差數(shù)列中,設(shè)為其前項(xiàng)和,已知,則等于 ( )
A. B. C. D.
(文科)設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,如果a1+ a4+ a7=50,則a6+ a9+ a12= ( )
A. 20 B.
6.在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立,則 ( )
A. B. C. D.
7.某鐵路貨運(yùn)站對(duì)6列貨運(yùn)列車(chē)進(jìn)行編組調(diào)度,決定將這6列車(chē)平均分成2組,且列車(chē)甲與列車(chē)乙不在同一個(gè)小組.如果甲車(chē)所在小組的3列列車(chē)先開(kāi)出,那么這6列列車(chē)先后不同的發(fā)車(chē)順序共有 ( )
A.108種 B.36種 C.432種 D.216種
8.設(shè)是不同的直線,、、是不同的平面,有以下四個(gè)命題
①;②;③;④;
其中正確的命題是 ( )
A.①④; B.②③; C.①③; 。模冖;
9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合,若雙曲線與拋物線的交點(diǎn)滿(mǎn)足,則雙曲線的離心率為 ( )
A. B. C. D.2
10.(理科)在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界),若目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu) 解有無(wú)數(shù)個(gè),則的最大值是 ( )
A. B.
C. D.
(文科)若不等式組 表示一個(gè)三角形區(qū)域,則a的取值范圍是 ( )
A.a(chǎn)<5 B.a(chǎn)≥
11. 已知函數(shù)+3,是的反函數(shù),若m+n=6,則 的值為
( )
A.0 B.
12.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且則的值是 ( )
A.2 B.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.)
13.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 .
14.(理科)隨機(jī)變量,若,則
(文科)某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為n的樣本,樣本中A型號(hào)的產(chǎn)品有16件,那么此樣本容量n= .
15.用一平面去截體積為的球,所得截面的面積為,則球心到截面的距離為_(kāi)______.
16.下列有關(guān)函數(shù)四個(gè)命題中:
① 函數(shù)的值域?yàn)?sub>、 函數(shù)的最小正周期為π
③ 函數(shù)為偶函數(shù),其圖像的對(duì)稱(chēng)軸為
④ 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
其中正確命題是 .
三、解答題:(本大題共6小題,共70分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟
17.(本小題滿(mǎn)分10分)已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)在中,已知為銳角,,,求邊的長(zhǎng).
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
(理科)某中學(xué)組建A、B、C、D、E五個(gè)不同的社團(tuán)組織,為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好,要求每個(gè)學(xué)生必須參加,且只能參加一個(gè)社團(tuán)。假定某班級(jí)的甲、乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五個(gè)社團(tuán)的選擇是等可能的。
(I)求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個(gè)社團(tuán)的所有選法種數(shù);
(II)求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團(tuán)的概率;
(III)設(shè)ξ為甲、乙、丙這三個(gè)學(xué)生參加A社團(tuán)的人數(shù),求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望。
(文科)某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),從裝有編為0,1,2,3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中同時(shí)抽出兩個(gè)小球,兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng),等于4中二等獎(jiǎng),等于3中三等獎(jiǎng)。
(1)求中三等獎(jiǎng)的概率;
(2)求中獎(jiǎng)的概率。
19.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,四棱錐S―ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的
正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=.
(I)求證BCSC;
(II)求面ASD與面BSC所成二面角的大。
(III)若M為SA的中點(diǎn),求DM與SB所成角的大小.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,已知(n =1, 2,3,…)
(1)求證:是等差數(shù)列;
(2)設(shè)Tn是數(shù)列的前項(xiàng)和,求使 對(duì)所有
的都成立的最大正整數(shù)的值.
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
(理科)已知點(diǎn)B(-1,0),C(1,0),P是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足
(1)求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程;
(2)已知點(diǎn)在曲線C上,過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD、AE,且AD、AE的斜率=2,試推斷:動(dòng)直線DE是否過(guò)定點(diǎn)?證明你的結(jié)論。
(文科)設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線相切,記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過(guò)點(diǎn)作互相垂直的直線、,分別交曲線于、和、四個(gè)點(diǎn),求四邊形面積的最小值。
22. (本小題滿(mǎn)分12分)
(理科)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的最大值、最小值;
(2)求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方;
(3)求證:≥N*).
(文科)設(shè),函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)任意,不等式恒成立,求a的最大值;
(Ⅲ)若方程存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
A
C
D
C
B
C
B
A
二、填空題(每題5分,共20分)
13. 60 14. 72 15. 16. ②③④
三.解答題:(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。)
17. 解(1) (2分)
(4分)
的最小正周期為π。 (5分)
(2) (6分)
18.解:兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3中三等獎(jiǎng),兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和不小于3中獎(jiǎng),設(shè)
“中三等獎(jiǎng)”的事件為A,“中獎(jiǎng)”的事件為B,從四個(gè)小球任選兩個(gè)共有(0,1),(0,
2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六種不同的方法。 ……………2分
(Ⅰ)兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有2種:(0,3),(1,2)!4分
故P(A)= ……………6分
(Ⅱ)解法一:兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于1的取法有1種:(0,1)……………7分
兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于2的取法有1種:(0,2) ……………9分
故P(B)=- ……………12分
解法二:兩個(gè)小號(hào)碼相加之和等于3的取法有2種:(0,3),(1,2);
兩個(gè)小號(hào)碼相加之和等于4的取法有1種:(1,3);
兩個(gè)小號(hào)碼相加之和等于5的取法有1種:(2,3);
故P(B)= ………12分
分
19. [方法一]:(幾何法)
(I)證法一:如圖∵底面ABCD是正方形,
∴BC⊥DC
∵SD⊥底面ABCD,
∴DC是SC在平面ABCD上的射影,
由三垂線定理得BC⊥SC ………….…………4分
證法二:如圖
∵底面ABCD是正方形,
∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥BC,
又∵DC∩SD=D,
∴BC⊥平面SDC,∴BC⊥SC. …………4分
(II)解法一:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD為正方形,
∴可把四棱錐S―ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體A1B1C1S―ABCD,
如圖,面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面
BCSA1所成的二面角,
∵SC⊥BC,BC//A1S,
∴SC⊥A1S,
又SD⊥A1S,
∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,
在Rt△SDC中,由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………8分
解法二:如圖過(guò)點(diǎn)S作直線∥AD
∵底面ABCD為正方形
∴∥AD,∥BC
∴在面BSC上,
∴為面ASD與面BSC的交線
,
∴,
∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=;在Rt△SDC中,由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為 45°. …………8分
(III)解法一:如圖
∵SD=AD=1,∠SDA=90°,
∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜邊SA的中點(diǎn),
∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,
∴BA⊥面ASD,SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂線定理得DM⊥SB.
∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………12分
解法二:如圖取AB中點(diǎn)P,連結(jié)MP,DP.
在△ABS中,由中位線定理得 MP//SB,
∴是異面直線DM與SB所成的角.
,
又
∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2,
∴
即異面直線DM與SB所成的角為 ……………12分
[方法二]:(向量法)
解析:如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
M(,0,),
∵ SB=,DB=,SD=1,∴ S(0,0,1),… ……2分
(I)證明:∵ ,
∴ ,即BCSC. ……………………5分
(II)設(shè)二面角的平面角為θ,由題意可知平面ASD的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面BSC的法向量為,
由,
得,
∴ 面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………10分
(III)設(shè)異面直線DM與SB所成角為α,
∵ ,
得
∴ 異面直線DM與SB所成角為. …………………12
20.解:(1)依題意 ,,故…1分,
當(dāng)時(shí), ① 又 ②
②?①整理得:,故為等比數(shù)列 …………………3分
且…………4分
∴ ………………………………….……….5分
,即是等差數(shù)列………………….6分
(2)由(1)知,
…8分.
…………9分,依題意有,
解得 ……………………….…….11分
故所求最大正整數(shù)的值為 ……………………………………………12分
21.題:(1)
[方法一]:
解:設(shè)點(diǎn)P(x,y)
依題意
化簡(jiǎn)得x2=6y
∴W:x2=6y ………………………………….……….5分
[方法二]:
解:依題意動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)和定直線的距離相等,所以點(diǎn)P表示以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線.
∴ p=3
∴W:x2=6y ………………………………….……….5分
(2)設(shè)LAC: …………………………①
LBD: ………………………②
又W:x2=6y …………………………③
由①② …………….…8分.
∴|AC|=6(k2+1)
同理|BD|=6 ……………….…10分.
當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào) ………………………………………12分
22.(I)解:
令
從而的單調(diào)遞增區(qū)間為;
單調(diào)遞減區(qū)間(-,). ……………………………………………3分
(II)解:由 ………………………………4分
由(I)得,函數(shù)
從而當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)取得最大值……………………6分
因?yàn)閷?duì)于任意,
故,從而a的最大值為.…………………………8分
(III)解:當(dāng)x變化時(shí),變化情況如下表:
x
-
(-,)
(,+∞)
+
0
-
0
+
極大植
極小值
①由的單調(diào)性,當(dāng)極大植<0或極小值>0時(shí),方程=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
②當(dāng)時(shí),解方程=0,得,即方程=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;
③當(dāng)時(shí),解方程=0,得,即方程=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.
如果方程=0存在三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則…12分
事實(shí)上,當(dāng)時(shí),
12分
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
A
C
D
C
B
D
B
A
二、填空題(每題5分,共20分)
13. 60
三.解答題:(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。)
17. 解(1) (2分)
(4分)
的最小正周期為π。 (5分)
(2) (6分)
18. 解:(I)甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個(gè)社團(tuán)的方法數(shù)是5種,
故共有5×5×5=125(種)。 ……………………………………3分
(II)三名學(xué)生選擇三個(gè)不同社團(tuán)的概率是: ………………5分
∴三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一社團(tuán)的概率為 …………6分
(III)由題意
ξ
0
1
2
3
P
………………9分
…………12分
19. [方法一]:(幾何法)
(I)證法一:如圖∵底面ABCD是正方形,
∴BC⊥DC
∵SD⊥底面ABCD,
∴DC是SC在平面ABCD上的射影,
由三垂線定理得BC⊥SC ………….…………4分
證法二:如圖
∵底面ABCD是正方形,
∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥BC,
又∵DC∩SD=D,
∴BC⊥平面SDC,∴BC⊥SC. …………4分
(II)解法一:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD為正方形,
∴可把四棱錐S―ABCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體A1B1C1S―ABCD,
如圖,面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面
BCSA1所成的二面角,
∵SC⊥BC,BC//A1S,
∴SC⊥A1S,
又SD⊥A1S,
∴∠CSD為所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,
在Rt△SDC中,由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………8分
解法二:如圖過(guò)點(diǎn)S作直線∥AD
∵底面ABCD為正方形
∴∥AD,∥BC
∴在面BSC上,
∴為面ASD與面BSC的交線
,
∴,
∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=;在Rt△SDC中,由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD與面BSC所成的二面角為 45°. …………8分
(III)解法一:如圖
∵SD=AD=1,∠SDA=90°,
∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜邊SA的中點(diǎn),
∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,
∴BA⊥面ASD,SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂線定理得DM⊥SB.
∴異面直線DM與SB所成的角為90°. ……………12分
解法二:如圖取AB中點(diǎn)P,連結(jié)MP,DP.
在△ABS中,由中位線定理得 MP//SB,
∴是異面直線DM與SB所成的角.
,
又
∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2,
∴
即異面直線DM與SB所成的角為 ……………12分
[方法二]:(向量法)
解析:如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),
C(0,1,0),M(,0,),
∵ SB=,DB=,SD=1,∴ S(0,0,1), … ……… ……2分
(I)證明:∵ ,
∴ ,即BCSC. ……………………5分
(II)設(shè)二面角的平面角為θ,由題意可知平面ASD的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面BSC的法向量為,
由,
得,
∴ 面ASD與面BSC所成的二面角為45°. ……………10分
(III)設(shè)異面直線DM與SB所成角為α,
∵ ,
得
∴ 異面直線DM與SB所成角為. …………………12
20.解:(1)依題意 ,,故 ……………1分,
當(dāng)時(shí), ① 又 ②
②?①整理得:,故為等比數(shù)列 …………………3分
且 …………4分
∴…….5分
,即是等差數(shù)列 ………………….6分
(2)由(1)知,
…8分.
……………………9分,
依題意有,
解得
故所求最大正整數(shù)的值為 …………………………………12分
21.解:(1)設(shè)
化簡(jiǎn)得 …………………… 3分
(2)將 ……………………4分
法一:兩點(diǎn)不可能關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),
的斜率必存在
設(shè)直線DE的方程為
由 ……………………6分
…………………… 7分
且
…………………… 8分
將代化入簡(jiǎn)得
將,
過(guò)定點(diǎn)(-1,-2) …………………… 10分
將,
過(guò)定點(diǎn)(1,2)即為A點(diǎn),舍去 …………………… 12分
法二:設(shè) ……………………5分
則 …………………… 6分
同理
由已知得 …………7分
設(shè)直線DE的方程為
得 ……………………9分
…………10分
即直線DE過(guò)定點(diǎn)(-1,-2) ……………………12分
22.解:(1)∵f¢ (x)=∴當(dāng)xÎ時(shí),f¢ (x)>0, ∴在上是增函數(shù)
故,. ……………………4分
(2)設(shè),則,
∵時(shí),∴,故在上是減函數(shù).
又,故在上,,即,
∴函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方. ……………………8分
(3)∵x>0,∴,當(dāng)時(shí),不等式顯然成立;
當(dāng)≥時(shí),有
≥
∴≥N*) …………………12分
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