壽光市2009年高考適應性訓練試題
高三數(shù)學(文科)
2009.5
本試卷共4頁,分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
注意事項:
答第Ⅰ卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合M={-1, 0, 1},N={x|x=ab, a, b∈M且a≠b},則集合M與集合N的關系是()
A. M=N B. MN C. M N D. MN=
3. 在△ABC中,邊a=2,邊c=+,角B=45°,則邊b的長為( )
A.
B.
4. 已知某幾何體的三視圖如右圖所示,它的表面積
是( )
A. 4+ B. 2+ C. 3+ D. 6
5. 已知f5′(x)是函數(shù)f (x)的函導數(shù),在區(qū)間[a, b]上f ′(x)的圖象如右圖所示,如果f (a) f (b)<0,則函數(shù)f (x)在區(qū)間(a, b)上( )
A. 至少有一個零點 B. 至多有一個零點
C. 沒有零點 D. 必有唯一的零點
6.設α,β,γ是三個不重合的平面,m, n是兩條不重合的直線,給出下列命題:①若α⊥β,β⊥γ,則α⊥γ;②若m∥α, n∥β, α⊥β,則m⊥n;③若α∥β,γ∥β,則α∥γ;④若α∥β且m與α,n與β所成的角相等,則m∥n。其中錯誤命題的個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程是y=-2x+15,如圖,
則f(5)+ f ′(5)=( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若數(shù)列{an}的前n項由如圖所示的程序框圖中輸出
的a的值依次給出,則數(shù)列{an}的通項公式an=( )
A. B. n C. n-1 D.
9. 拋物線y=ax2的焦點恰好為雙曲線y2-x2=2的上焦點,則a=( )
A. B. C. D. 1
10. 設等差數(shù)列{an}中,a6+a10=16, a4=1,則a12的值是( )
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
11. 已知f (x)為偶函數(shù),且f (2+x)=f (2-x),當-2≤x≤0時,f (x)=2x, an=f (n), n∈N*,則a2009=( )
A. 2009 B. 2 C. D. -2
12. 函數(shù)f (x)=ax2-x-c的零點是-2,1,則函數(shù)y = f ( -x)的圖象為( )
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
注意事項:
1.第Ⅱ卷包括填空題和解答題共兩個大題.
2.第Ⅱ卷所有題目的答案考生需用黑色簽字筆答在“數(shù)學”答題卡指定的位置上.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13. 如圖,是在某一年全國少數(shù)民族運動會上,七位評委
為某民族舞蹈運動員打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分
和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ,方差為 .
14. 統(tǒng)計某校1000名學生的數(shù)學會考成績,得到樣本頻率分布直方圖如圖所示,規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀,則及格人數(shù)是 .
15. 現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題:如圖,同一平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積為. 類比到空間,有兩個棱長均為a的正方體,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為 .
16. 定義一種運算 =a1a4-a2a3. 將函數(shù)f (x)= 的圖象向左平移n(n>0)個單位,所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為 .
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知點A (2,0), B (0,2), C (cos, sin).
(1)若;
(2)若f ()=
18.(本小題滿分12分)
一個盒中放有除顏色不同外,其余完全相同的黑球和白球,其中黑球2個,白球3個;
(1)從盒中同時摸出兩個球,求兩球顏色恰好相同的概率;
(2)從盒中摸出一個球,放回后再摸出一個球,求兩球顏色恰好不同的概率.
19.(本小題滿分12分)
數(shù)列{an}中,a1=-27,an+1+an=3n-54,(n∈N*).
(1)求證a1, a3, a5, …和a2, a4, a6,…分別成等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n(n為偶數(shù))項和Sn的最小值.
20.(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P―ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD。底面ABCD為梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC=1,點E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求四棱錐P―ABCD的體積V;
(3)求證:PD∥平面EAC.
(注:棱錐體積=底面積×高÷3)
21.(本小題滿分12分)
已知定點C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點C且斜率為k的直線與橢圓相交于不同的兩點A,B.
(1)若線段AB中點的橫坐標是-,求直線AB的方程;
(2)在x軸上是否存在點M,使是與k無關的常數(shù)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由。
22.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f (x)=
(1)求f(x)的極大值;
(2)若函數(shù)f (x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0,e2]上有公共點,求實數(shù)a的取值范圍
壽光市2009年高考適應性訓練試題
一、選擇題:
1. C 2. C 3. B 4.C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A 11. C 12. C
二、填空題:
13. 85,1.6 14. 800 15. 16.
三、解答題:
17.解: (1)………………………1分
,
化簡得…………………………3分
(2))
令Z),函數(shù)f(α)的對稱軸方程為
Z).………………………………………………………12分
18. 解:(1)從盒中同時摸出兩個球,有種可能情況,…………2分
摸出兩球顏色恰好相同即兩個黑球或兩個白球,有1+種情況,……4分
故所求概率是………………………………………………………………6分
(2)從盒中摸出一個球,放回后再摸出一個球,共有5×5=25種情況,……8分
若兩球顏色不同,即“先黑后白”或“先白后黑”,共有2×3+3×2=12種可能情況,故所求概率是………………………………………………………………………12分
(本題也可一一列出基本事件空間后求解)
19.解:(1)an+1+an=3n-54, an+2+an+1=3(n+1)-54.
兩式相減得an+2-an=3(n∈N*),
∴數(shù)列a1,a3,a5,……, a2, a4, a6, …都是公差為3的等差數(shù)列.……………………1分
a1=-27, a1+a2==-51, a2=-24。采用疊加法可得,
當n為奇數(shù)時,an=;…………………………3分
當n為偶數(shù)時,an=……………………………5分
∴an=………………………………6分
(2)因為n為偶數(shù),所以
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(an-1+an)…………………………8分
=(3×1-54)+(3×3?54)+……+[3(n?1)?54]
=…………………………………………10分
若n為偶數(shù),當n=18時,Sn取到最小值-243.……………………12分
20. (1)證明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.……2分
又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.……4分
(2)證明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD.
又PC⊥AD,∴AD⊥平面PAC,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,
∴∠DCA=∠BAC=.
又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形。
∴DC=2AB,
……………………8分
(3)連結BD,交AC于點M,連結EM,則
在△BPD中,∴PD∥EM.
又PD平面EAC,EM平面EAC,
∴PD∥平面EAC.……………………(12分)
21.解:(1)設直線AB的方程為y=k(x+1),
將y=k(x+1)代入x2+3y2=5, 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.………2分
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0恒成立,
設A(x1,y1), B(x2,y2), 則x1+x2=,………………………………4分
由線段AB中點的橫坐標是,
得解得k=±.……………………5分
所以直線AB的方程為或……………………6分
(2)假設在x軸上存在點M(m, 0),使為常數(shù).
由(1)知x1+x2=①
所以
=
=……………………8分
將①代入上式,整理得,
∴
∵
綜上,在x軸上存在定點M,使為常數(shù)……………………12分
22.解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=,
令f′(x)=0,得x=e1-a.……………………3分
當x∈(0, e1-a)時,f′(x)>0,f(x)在(0, e1-a)內(nèi)是單調(diào)遞增,當x∈(e1-a,+∞)時,f′(x)<0,f(x)在(e1-a,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞減.…………………………6分
∴f(x)在x=e1-a處取得極大值f(e1-a)=ea-1.………………8分
(2)∵a>0, ∴e1-a<e2,∴[f(x)]max=f(e1-a)=ea-1,………………10分
∴f(x)的圖象g(x)=1的圖象在(0,e2]上有公共點,等價于ea-1≥1,……………12分
兩邊以e底取對數(shù)可解得a≥1,故a的取值范圍是[1,+∞)……………………14分
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