2009海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺試題

 

說明：

查漏補(bǔ)缺題是在海淀的五次統(tǒng)練基礎(chǔ)上的補(bǔ)充，絕非猜題押寶，每道題的選擇都有其選題意圖，有的側(cè)重知識、有的側(cè)重方法、有的側(cè)重題型、有的側(cè)重選題內(nèi)容，請老師根據(jù)選題意圖，有所選擇、有所側(cè)重地訓(xùn)練學(xué)生.

最后階段的復(fù)習(xí)，應(yīng)是梳理知識、梳理解題方法的基礎(chǔ)上查漏補(bǔ)缺.

 

三角函數(shù)

1．在中，、、所對的邊長分別是、、.滿足.

   （1）求的大��；

   （2）求的最大值.

命題意圖：

       在已知邊角關(guān)系中既有邊又有角的等式，一般要進(jìn)行邊角統(tǒng)一，邊化角常用正弦定理，角化邊常用正弦、余弦定理；熟練掌握的變形；另外對于函數(shù)的圖象和性質(zhì)要掌握好;已知三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要注意角的取值范圍，注意細(xì)節(jié).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．已知.

   （1）求的對稱軸方程；

   （2）將函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的最小值.

命題意圖：

       對于三角公式，重中之重是倍角公式、降冪公式及輔助角公式.如果三角函數(shù)解答題要求單調(diào)性、對稱性、周期等，一般暗示著“化一”的過程，即通過恒等變形把函數(shù)化為；另外會從“數(shù)”和“形”兩方面來分析這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)和幾何特點(diǎn),即以圖引導(dǎo)思維；注意平移問題的處理，如函數(shù)平移，按向量平移，曲線的平移問題.

提示：要求學(xué)生記清誘導(dǎo)公式，“特殊角”的三角函數(shù)值.

 

 

 

 

 

 

數(shù)列

1．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.

   （Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

   （Ⅱ）求通項(xiàng)公式；

   （Ⅲ）設(shè),求證：.

命題意圖：

數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).掌握好等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，能用概念判斷是否為等差、等比數(shù)列.常見考點(diǎn)：與的關(guān)系（注意討論）；；遞推――猜想――數(shù)學(xué)歸納法證明；迭加；迭乘；裂項(xiàng)求和；錯(cuò)位相減等；數(shù)列不等式證明中注意放縮法的運(yùn)用.

 

 

 

 

 

 

 

2．無窮數(shù)列滿足：（為常數(shù)）.

   （1）若且數(shù)列為等比數(shù)列，求；

   （2）已知，若，求；

   （3）若存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，求證：存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有

命題意圖：

       數(shù)列中涉及恒成立或存在性的問題，往往和最大（�。┲导皢握{(diào)性有關(guān)，常見做法是用和進(jìn)行作差、作商、比較或構(gòu)造函數(shù)來判斷；通過本題的練習(xí)，希望學(xué)生能根據(jù)題目的條件和結(jié)論獲取信息，抓住特點(diǎn)，進(jìn)行代數(shù)推理論證；本題第（3）問也可用反證法說明，解題中要重視它的運(yùn)用.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立體幾何

1．在直平行六面體中，是菱形，，，.

   （1）求證：平面；

   （2）求證：平面平面；

   （3）求直線與平面所成角的大小.

 

命題意圖：

       熟悉立體幾何中常見問題及處理方法，要求學(xué)生敏銳把握所給圖形特征，制定合理的解決問題策略.立體幾何主要是兩種位置關(guān)系（平行、垂直），兩個(gè)度量性質(zhì)（夾角、距離）.解決問題的方法也有兩種：幾何方法和向量方法.兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，前者難在“找”和“作”的技巧性，后者難在建系和計(jì)算上，究竟用哪種方法，到時(shí)根據(jù)自己的情況決斷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．如圖，二面角為直二面角，∠PCB=90°, ∠ACB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1,BC=2，PM=1.     

   （Ⅰ）求證：AC⊥BM;

   （Ⅱ）求二面角M-AB-C的正切值；

   （III）求點(diǎn)P到平面ABM的距離.

命題意圖：

用綜合法解答立體幾何問題，要注意步驟的規(guī)范性，如求二面角的大小，點(diǎn)到面的距離，要先證明，再計(jì)算.用向量方法解答，要注意兩向量的夾角與所求角的關(guān)系，即相等、互補(bǔ)、互余等，還要注意所求角的范圍，如斜線和平面所成角一定是銳角；要注意“體積法”在處理較難的角與距離問題中的靈活運(yùn)用.

注意：立體幾何重在通性、通法的熟練，邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算準(zhǔn)確上.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

概率

1．理：某自助銀行共有4臺ATM機(jī)，在某一時(shí)刻A、B、C、D四臺ATM機(jī)被占用的概率分別為、、、，設(shè)某一時(shí)刻這家自助銀行被占用的ATM機(jī)的臺數(shù)為

   （Ⅰ）如果某客戶只能使用A或B型號的ATM機(jī)，求該客戶需要等待的概率；

   （Ⅱ）求至多有三臺ATM機(jī)被占用的概率；

   （Ⅲ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：

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          20090521
           
           
           
           
           
           
           
          2．文：某自助銀行共有4臺ATM機(jī)，在某一時(shí)刻A、B、C、D四臺ATM機(jī)被占用的概率分別為、、、.
             （Ⅰ）如果某客戶只能使用A或B型號的ATM機(jī)，求該客戶需要等待的概率； 
             （Ⅱ）求至多有三臺ATM機(jī)被占用的概率；
             （Ⅲ）求恰有兩臺ATM機(jī)被占用的概率.
          命題意圖：
                 概率主要考查兩個(gè)公式（加法、乘法公式）、兩個(gè)模型（古典概型、貝努里概型）.
          但要注意答題的規(guī)范性，不要只列一個(gè)算術(shù)式子來解答；注意兩個(gè)公式適用的條件，互斥和獨(dú)立；注意兩個(gè)模型的辨別；對于“至多”，“至少”問題，常用對立事件計(jì)算.
           
           
           
           
           
           
           
           
          3．小明一家三口都會下棋.在假期里的每一天，父母都交替與小明下三盤棋，已知小明勝父親的概率是，勝母親的概率是.
             （1）如果小明與父親先下，求小明恰勝一盤的概率；
             （2）父母與小明約定，只要他在三盤中能至少連勝兩盤，就給他獎品，那么小明為了獲勝希望更大，他應(yīng)該先與父親下，還是先與母親下？請用計(jì)算說明理由.
          命題意圖：
                 用數(shù)據(jù)說理和決策的意識.通過合理的分類、恰當(dāng)?shù)姆植桨褟?fù)雜事件用相對簡單（或已知概率）事件表示的能力，尤其是對（2）中                               
劃線部分的理解；還要注意概率和不等式等其它數(shù)學(xué)知識的交匯.
           
           
           
           
           
           
          解析幾何
          1．已知動點(diǎn)P到直線的距離是到定點(diǎn)（）的距離的倍.
             （Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
             （Ⅱ）如果直線與P點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求弦AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.
          命題意圖：
          對解析幾何兩大基本問題：①求軌跡；②通過方程研究曲線性質(zhì)進(jìn)行再梳理.軌跡方程的求法一般分為直接法和間接法.直接法的步驟：建系設(shè)點(diǎn)，找等量關(guān)系，列方程，化簡，檢驗(yàn)；間接法的關(guān)鍵是找參數(shù).如果明確說直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，一般是考查判別式與根系關(guān)系的應(yīng)用.取值范圍一般是函數(shù)的值域或不等式（組）的解集.
           
           
           
           
          2．已知點(diǎn)分別是直線和的動點(diǎn)（在軸的同側(cè)），且的面積為，點(diǎn)滿足.
             （1）試求點(diǎn)的軌跡的方程；
             （2）已知，過作直線交軌跡于兩點(diǎn)，若，試求的面積.
             （3）理：已知，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，試求矩形 面積的最小值.
          命題意圖：
          本題抓住解析幾何重點(diǎn)研究問題設(shè)問，熟悉鞏固通性通法，典型幾何條件如長、角等的代數(shù)轉(zhuǎn)換方法，讓學(xué)生理解解析幾何的基本思想與策略.解析幾何要把握好條件的等價(jià)翻譯，理順各量間的關(guān)系，計(jì)算準(zhǔn)確，進(jìn)而得出正確結(jié)論.取值范圍、最值、存在性、定值等問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，要重視.最值問題一般要建立函數(shù)關(guān)系（求哪個(gè)量的最值，這個(gè)量一般是因變量，關(guān)鍵是找到主動變化的量，即自變量），并且指出函數(shù)的定義域（定義域往往和判別式有關(guān)）.解析幾何考最值要注意均值定理、導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的運(yùn)用.
           
           
           
           
           
          函數(shù)、導(dǎo)數(shù)
          1．設(shè)，曲線y = f(x)在點(diǎn)（2，f(2)）處的切線方程為y = x+3.
            
（1）求f(x)的解析式；
            
（2）若x∈[2,3]時(shí)，f(x)≥bx恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
          命題意圖：
                 切線方程要注意“在點(diǎn)”和“過點(diǎn)”的區(qū)別；恒成立問題，存在性問題一般和最值、值域、單調(diào)性密切相關(guān)，當(dāng)不等式兩端都為變量時(shí)，一般要先分離變量.
           
           
           
           
           
           
          2．（理）已知函數(shù)（，R）
            
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
            
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．
          命題意圖：
                 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)是單調(diào)性、極值、最值問題（或方程、不等式等可轉(zhuǎn)化為最值的問題），要注意通性通法的落實(shí).如果有參數(shù)，常常需要分類討論：提取常數(shù)系數(shù)時(shí)，要注意系數(shù)是否可能為零；導(dǎo)數(shù)為零的的值有多個(gè)時(shí)，要注意它們的大小關(guān)系是否是確定的等.
           
           
           
           
           
           
           
          2．（文）設(shè)函數(shù)．
             （Ⅰ）求的最小值；
             （Ⅱ）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
                 
          命題意圖：
                 使文科學(xué)生熟悉導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，鞏固處理此類問題的通性通法.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用． 
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          不等式
          1．已知函數(shù)和的圖象關(guān)于y軸對稱，且
             （I）求函數(shù)的解析式；
             （Ⅱ）解不等式；
          命題意圖：
                 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)對稱性（軸對稱、中心對稱）問題的處理方法.解不等式的方法可以概括為“化歸”的過程，即轉(zhuǎn)化為有理不等式.含有絕對值的不等式，就是要根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，根據(jù)不同情況進(jìn)行分類討論，但要分清楚各個(gè)步驟是求交集還是并集.
           
           
           
           
           
           
           
           
          2．已知不等式的解集為，不等式的解集為.
             （1）求集合及；
             （2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
          命題意圖：
                 復(fù)習(xí)簡單不等式的解法，注意分式不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，弄清集合間的關(guān)系，注意分類討論的思想方法.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          三角函數(shù)
          1．解：（1）由正弦定理及得，
              .
              在中，，
              ，即.
                 
              
              又，，
          .
          .
          *.
             （2）由（1）得，，即.
              
                 ，，
              .
                當(dāng)時(shí)，取得最大值.
          2．解：（1）
                 
             由得.
                的對稱軸方程為. 
             （2）由題意可設(shè)則
                 又因?yàn)?sub>的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，
                 即.
                 
                 所以當(dāng)時(shí)，
           
          數(shù)列
          1．證明：（Ⅰ）,
          . 
          又,
                 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列且.
            
（Ⅱ）時(shí)，,
          時(shí)，
           .
          故.
            
（Ⅲ） 
               .
          2．解：（１）
                 由為等比數(shù)列，知與無關(guān)，故.
                 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以１為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
            
（２）當(dāng)時(shí)，.
                 取為１，２，３，，累乘得:
                 　（）.
                 
                 
                 當(dāng)時(shí)，.
                 而，
            
（３）當(dāng)時(shí)，，
                 說明異號，此時(shí)不存在正整數(shù)，
                 使得當(dāng)時(shí)，有.
                 當(dāng)時(shí)，必存在正整數(shù)（取大于的正整數(shù)即可），
                 使得當(dāng)時(shí)，有，
                 即存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有；
                 因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，
                 取為與的較大者，則必存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.
                 存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有
           
          立體幾何
          1．證明：（1）連接交于，連結(jié).
                 在平行四邊形中，，，
                 四邊形為平行四邊形. 
                 .
                 平面，平面，
                 *平面.
            
（2）在直平行六面體中，平面，
                 .
                 四邊形為菱形，
                 .
                 ，平面，平面，
                 平面.
                 平面，
           * 平面平面.
            
（3）過作交于.
                 平面平面，平面平面，
                 平面.
                 為在平面上的射影.
                 是與平面所成的角.
                 設(shè)，在菱形中，，
                 .
                 在Rt中，.
                 ，
                 .
                 .
                 *.
            
（3）解法二：
                 連交于，分別以,,所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
                 設(shè)，在菱形中，，
                 ,.
                 則（0，，0），（0，，0），
                 （1，0，2），（0，0，2）.
                 （0，，2），（1，，2）.
                 設(shè)平面的法向量（，，），
                 則
                 
                 .令，則.
               （0，，）.
                 設(shè)與平面所成的角為.
                 .
                 .
          2．解：（Ⅰ）∵平面平面，
          ，平面,
          平面平面  ．
                 ∴平面.
                 又∵平面,
                 ∴.
             （Ⅱ）取的中點(diǎn)，則．連接、．
          ∵平面平面，
          平面平面，．
                 ∴平面．
                 ∵，
                 ∴，從而平面．
                 作于，連結(jié)，
                 則由三垂線定理知．
                 從而為二面角的平面角．
                 ∵直線與直線所成的角為60°，
                 ∴ ．
                 在中，由勾股定理得．
                 在中，．
                 在中，．
                 在中，
          
				
	
          
		
          


          同步練習(xí)冊答案