廣東省2007―2008學年第一學期期末高三五校聯(lián)考
數(shù)學試題（理科）
第一部分 選擇題（共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．
1．若集合，，則=
A． B． C． D．
2．在復平面內(nèi)，復數(shù) 對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，則的值等于
A． B．1 C．2 D．3
4．已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面，有下列命題
①若； ②若；
③若； ④若；
其中正確的命題個數(shù)是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，，，則數(shù)列前10項的和等于
A.55 B.70 C.85 D.100
6．定義行列式運算=. 將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位,所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為
A． B． C． D．
7．定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，對任意的實數(shù)都有，且，則的值為
A． B． C．0 D．1
8．對任意正整數(shù)，定義的雙階乘如下：
當為偶數(shù)時，
當為奇數(shù)時，`
現(xiàn)有四個命題：①， ②，
③個位數(shù)為0， ④個位數(shù)為5
其中正確的個數(shù)為
A.1 B.2 C.3 D.4
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中9～12題是必做題,13～15題是選做題. 每小題5分，滿分30分.
9．若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則的值為 ．
11．在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，
則；類比此性質(zhì)，如圖，在四
面體P―ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底
面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為 ；
12．某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把名使用血清的人與另外名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)：“這種血清不能起到預防感冒的作用”，利用列聯(lián)表計算得，經(jīng)查對臨界值表知．
對此，四名同學做出了以下的判斷：
p：有的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”
q：若某人未使用該血清，那么他在一年中有的可能性得感冒
r：這種血清預防感冒的有效率為
s：這種血清預防感冒的有效率為
則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是 ．（把你認為正確的命題序號都填上）
（1） p∧?q ； （2）?p∧q ；
(3)（?p∧?q）∧（r∨s）； （4）(p∨?r)∧(?q∨s)
▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計算前兩題的得分.
13．（坐標系與參數(shù)方程選做題） 已知圓的極坐標方程為，則該圓的圓心到直線 的距離是 .
14．（不等式選講選做題） 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,則g(x)的值域為 ；
15．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，
PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=，
PA=，PC=1，則圓O的半徑等于 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
16．（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c =，且 (1) 求角C的大��； （2）求△ABC的面積.
17．（本小題滿分12分）一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：
（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
18．(本小題滿分14分) 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .
(1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 當 f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.
19．(本小題滿分14分) 橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．（1）求橢圓方程； （2）若，求m的取值范圍．
20．(本小題滿分14分)已知數(shù)列的前n項和滿足：（a為常數(shù)，且）． （Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；
（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項和為Tn .
求證：．
21．(本小題滿分14分) 已知函數(shù)
（I）若 在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（II）在（I）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；
（III）設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.
2007―2008學年第一學期期末高三五校聯(lián)考
數(shù)學科（理科）試題答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
B
C
C
D
C
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1、解析： B．本題考查了定義域及交集運算
={-1＜x＜1}, N={0≤x＜1}
2． 解析：B．本題考查了復數(shù)的概念及運算
原式=
3．解析：D．本題考查了函數(shù)概念及分段函數(shù)
4．解析：B．本題考查了直線和平面的基本位置關(guān)系．
②，④正確；①，③錯誤
5．解析：C．本題考查了等差數(shù)列的通項及前項和計算．
因此，數(shù)列 也是等差數(shù)列，并且前10項和等于：
6． 解析：C．本題考查了信息的處理、遷移和應用能力以及三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識．
7． 解析：D．本題考查了函數(shù)的對稱性和周期性．
由，得，因此，是周期函數(shù)，并且周期是３
，＝
8．解析：C．本題考查了信息處理和應用能力．
因為
所以，有
因此，①，③，④正確；②錯誤
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中9～12題是必做題,13～15題是選做題. 每小題5分，滿分30分.
9． 解析：６．本題考查了拋物線和雙曲線的有關(guān)基本知識．
雙曲線的右焦點F（3,0）是拋物線的焦點，所以，，p=6
10．解析：－192．本題考查了簡單定積分的計算以及求二項式展開式的指定項的基本方法．
＝=2 , T=(-1) ()()=(-1) 2x
11．解析：．本題考查了合情推理的能力．
連接CO且延長交AB于點D，連PD，
由已知PC⊥PD，在直角三角形PDC中，DC?h＝PD?PC，
即，
容易知道 AB⊥平面PDC，所以AB⊥PD，
在直角三角形APB中，AB?PD＝PA?PB，所以，
，故。
（也可以由等體積法得到）
12．解析：（1）（4）．本題考查了獨立性檢驗的基本思想及常用邏輯用語．由題意，得，，所以，只有第一位同學的判斷正確，即：有的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”．由真值表知（1）（4）為真命題．
▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計算前兩題的得分.（其中14題第一空3分，第二空2分）
13．解析：．本題考查了簡單的直線和圓的極坐標方程以及它們的基本知識．
直線 化為直角坐標方程是2x+y-1=0; 圓的圓心（１，０）
到直線2x+y-1=0的距離是
14． 解析： [－１，１] ； ．本題考查絕對值的意義，含參絕對值不等式的解法．
當x≤1時，g(x)=|x-1|-|x-2|=-1
當１＜x≤２時，g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1
當x＞２時，g(x)=|x-1|-|x-2|=1
綜合以上，知-1≤g(x) ≤1。
（此結(jié)果也可以由絕對值的幾何意義直接得出）
所以 .
15．解析：7．本題考查了圓和切線的基本知識．
交圓于點E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB
因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7
三、解答題：
16．（本小題滿分12分）
(1) 解：∵A+B+C=180°
由 …………1分
∴ ………………3分
整理，得 …………4分
解 得： ……5分
∵ ∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分
∴ ………………8分
由條件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分
……10分
∴ …………12分
17．（本小題滿分12分）
解：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知 ………………………………………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4.
，
； …………8分
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
……………………………………………………………10分
答：ξ的數(shù)學期望為 ………………………………………………………………12分
18．（本小題滿分14分）
解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz�！� 1分
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分
（－2，2，2），（2，2，0）…………………………………………………3分
（法二）作DH⊥EF于H，連BH，GH，……………1分
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH。
又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，
BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分
而BD平面DBH，∴ EG⊥BD�！� 4分
（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）
（2）∵AD∥面BFC，
所以 VA-BFC＝＝4(4-x)x
………………………………………………………………………7分
即時有最大值為�！�8分
（3）（法一）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），
|
_ E 則 ， 即， 取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 面BCF的一個法向量為 ……………………………12分 則cos<>= …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－ ………………………………………………………………………………14分 （法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM。 由三垂線定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角。 ………………………………………………………………9分 由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。 又DH＝2， ∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-， 因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝， ………………………………13分 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角， 故二面角D-BF-C的余弦值為－。 ………………………………14分 19．（本小題滿分14分） 解：（1）設(shè)C：＋＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝，＝， ∴a＝1，b＝c＝， 故C的方程為：y2＋＝1 ………………………………………4分 （2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ， ∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 設(shè)l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝， x1x2＝ ………………………………………………9分 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0 ………………………………………………11分 m2＝時，上式不成立；m2≠時，k2＝， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1 容易驗證k2>2m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1） ………………………14分 20．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）∴ 當時， ，即是等比數(shù)列． ∴； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若為等比數(shù)列， 則有而 故，解得， ………………………………7分 再將代入得成立， 所以． ………………………………………………………………8分 （III）證明：由（Ⅱ）知，所以 ， ………………………………………………… 9分 由得 所以， …………………… 12分 從而 ． 即． …………………………14分 21．解：（I）依題意： 在（0,+）上是增函數(shù)， 對x∈（0,+）恒成立， …………2分 …………4分 （II）設(shè) 當t=1時，ym I n=b+1； …………6分 當t=2時，ym I n=4+2b …………8分 當?shù)淖钚≈禐?nbsp; …………9分 （III）設(shè)點P、Q的坐標是 則點M、N的橫坐標為 C1在點M處的切線斜率為 C2在點N處的切線斜率為 …………10分 假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則
……………11分 設(shè) ……………… ① …………12分 這與①矛盾，假設(shè)不成立. 故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行. …………14分
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