甘肅省西北師大附中2009屆高三5月最后一考
數(shù)學(xué)文科
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1．學(xué).files/image002.gif)
的值為（ ）
A．學(xué).files/image004.gif)
B．學(xué).files/image006.gif)
C．學(xué).files/image008.gif)
D．學(xué).files/image010.gif)
2．如果復(fù)數(shù)學(xué).files/image012.gif)
，則學(xué).files/image014.gif)
的展開式（按學(xué).files/image016.gif)
的升冪排列）的第5項(xiàng)是( )
A ．35 B．學(xué).files/image018.gif)
C．學(xué).files/image020.gif)
D．學(xué).files/image022.gif)
3.已知學(xué).files/image024.gif)
為偶函數(shù)，且學(xué).files/image026.gif)
，當(dāng)學(xué).files/image028.gif)
時(shí)，學(xué).files/image030.gif)
，若學(xué).files/image032.gif)
則學(xué).files/image034.gif)
（ ）
A．學(xué).files/image036.gif)
B．學(xué).files/image038.gif)
C． D．學(xué).files/image041.gif)
4．已知學(xué).files/image043.gif)
，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．函數(shù)學(xué).files/image045.gif)
的周期為學(xué).files/image047.gif)
B．函數(shù)學(xué).files/image049.gif)
的最小值為學(xué).files/image051.gif)
C．將學(xué).files/image053.gif)
的圖象向左平移學(xué).files/image055.gif)
單位后得學(xué).files/image057.gif)
的圖象
D．將的圖象向右平移單位后得的圖象
5．若拋物線學(xué).files/image061.gif)
的焦點(diǎn)與雙曲線學(xué).files/image063.gif)
的右焦點(diǎn)重合，則學(xué).files/image065.gif)
的值為（ ）
A．4 B．學(xué).files/image067.gif)
C．2 D．學(xué).files/image069.gif)
6.在樣本的頻率分布直方圖中，共有學(xué).files/image071.gif)
個(gè)小長方形，若其中一個(gè)小長方形的面積等于其他學(xué).files/image073.gif)
個(gè)小長方形面積和的四分之一，樣本容量為學(xué).files/image075.gif)
，則該小長方形這一組的頻數(shù)為(
)
A．32 B．
7． 已知函數(shù)學(xué).files/image077.gif)
在學(xué).files/image079.gif)
上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)學(xué).files/image081.gif)
的取值范圍是（ ）
A．學(xué).files/image083.gif)
B．學(xué).files/image085.gif)
C．學(xué).files/image087.gif)
D．學(xué).files/image089.gif)
學(xué).files/image090.gif)
8．如右圖所示的幾何體ABCDEF中，ABCD是平行四邊形且AE∥CF，
六個(gè)頂點(diǎn)任意兩點(diǎn)連線能組成異面直線的對數(shù)是( )
A．36 B．28 C．39 D．20
9. 設(shè)實(shí)數(shù)學(xué).files/image092.gif)
滿足學(xué).files/image094.gif)
，則有（
）
A．學(xué).files/image096.gif)
B．學(xué).files/image098.gif)
C．學(xué).files/image100.gif)
D．學(xué).files/image102.gif)
10．已知學(xué).files/image104.gif)
為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)學(xué).files/image106.gif)
在學(xué).files/image108.gif)
內(nèi)，且學(xué).files/image110.gif)
，設(shè)學(xué).files/image112.gif)
,則學(xué).files/image114.gif)
（ ）
A．學(xué).files/image116.gif)
B．學(xué).files/image118.gif)
C．學(xué).files/image120.gif)
D．學(xué).files/image122.gif)
11.若學(xué).files/image124.gif)
條件滿足學(xué).files/image126.gif)
則學(xué).files/image128.gif)
的最小值為（ ）
A．學(xué).files/image130.gif)
B． C．學(xué).files/image132.gif)
D．
12. 已知學(xué).files/image135.gif)
在區(qū)間學(xué).files/image137.gif)
上是減函數(shù)，那么學(xué).files/image139.gif)
（ ）
A．有最大值學(xué).files/image141.gif)
B．有最大值學(xué).files/image143.gif)
C．有最小值 D．有最小值
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）
13．不等式(x－1)|x2－2x－3|≥0的解集為_________．
14．霓紅燈的一個(gè)部位由七個(gè)小燈泡組成，如圖：○○○○○○○，每個(gè)燈泡均可亮出紅色或黃色，現(xiàn)設(shè)計(jì)每次變換只閃亮其中三個(gè)燈泡，且相鄰兩個(gè)不同時(shí)亮，則一共可呈現(xiàn)____________種不同的變換形式．(用數(shù)字作答)
15．設(shè)函數(shù)學(xué).files/image147.gif)
=
.
16．已知學(xué).files/image149.gif)
且關(guān)于的函數(shù)學(xué).files/image152.gif)
在學(xué).files/image154.gif)
上有極值，則學(xué).files/image156.gif)
的夾角范圍為
答題卡
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
題號
13
14
15
16
答案
三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分10分）
已知學(xué).files/image158.gif)
為坐標(biāo)原點(diǎn)，學(xué).files/image160.gif)
學(xué).files/image162.gif)
⑴求的單調(diào)遞增區(qū)間；
⑵若的定義域?yàn)?sub>學(xué).files/image166.gif)
，值域?yàn)?sub>學(xué).files/image168.gif)
，求學(xué).files/image170.gif)
的值
18.（本小題滿分10分）從北京到西安的某三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為學(xué).files/image172.gif)
。求
⑴這三列火車恰有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；
⑵這三列火車至少有兩列誤點(diǎn)到達(dá)的概率。
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面是直角梯形，學(xué).files/image174.gif)
，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側(cè)面學(xué).files/image176.gif)
底面ABCD，O是BC中點(diǎn)，AO交BD于E.
學(xué).files/image178.gif)
（1）求證：學(xué).files/image180.gif)
；（2）求二面角學(xué).files/image182.gif)
的大小；
（3）求證：平面學(xué).files/image184.gif)
平面PAB.
20.(本題滿分12分)
設(shè)學(xué).files/image186.gif)
是正數(shù)組成的數(shù)列，其前學(xué).files/image188.gif)
項(xiàng)和為學(xué).files/image190.gif)
，并且對于所有的正整數(shù)，學(xué).files/image192.gif)
與學(xué).files/image194.gif)
的等差中項(xiàng)等于與的等比中項(xiàng)，
Ⅰ求數(shù)列的通向公式；
Ⅱ令學(xué).files/image197.gif)
，求數(shù)列學(xué).files/image199.gif)
的前項(xiàng)和。
21. （本小題滿分13分）
學(xué).files/image201.jpg)
如圖，已知雙曲線C：學(xué).files/image203.gif)
的右準(zhǔn)線學(xué).files/image205.gif)
與一條漸近線學(xué).files/image207.gif)
交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（I）求證：學(xué).files/image209.gif)
；
（II）若學(xué).files/image211.gif)
且雙曲線C的離心率學(xué).files/image213.gif)
，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線學(xué).files/image215.gif)
過點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足學(xué).files/image217.gif)
，試判斷學(xué).files/image219.gif)
的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.
22. （本小題滿分13分）
已知函數(shù)學(xué).files/image221.gif)
⑴若圖像上的點(diǎn)學(xué).files/image224.gif)
處的斜率為，，求的極大值
⑵若在區(qū)間學(xué).files/image228.gif)
上是單調(diào)減函數(shù)，求學(xué).files/image230.gif)
的最小值；
一、A；A；C；D；A；A； C；C；B；C；C；A
二、13、學(xué).files/image232.gif)
或學(xué).files/image234.gif)
； 14、80； 15、-2；16、學(xué).files/image166.gif)
；
17、解：⑴學(xué).files/image237.gif)
學(xué).files/image239.gif)
………………………………………3分
學(xué).files/image241.gif)
時(shí)，由學(xué).files/image243.gif)
得函數(shù)的遞增區(qū)間為學(xué).files/image245.gif)
學(xué).files/image247.gif)
時(shí)，由學(xué).files/image249.gif)
得函數(shù)的遞增區(qū)間為學(xué).files/image251.gif)
…………………………………………5分
⑵學(xué).files/image253.gif)
學(xué).files/image255.gif)
……………………………………………7分
時(shí)，學(xué).files/image257.gif)
得：學(xué).files/image259.gif)
（舍）
時(shí)，學(xué).files/image261.gif)
得學(xué).files/image263.gif)
綜上，學(xué).files/image265.gif)
……………………………………………………10分
18、解：用學(xué).files/image267.gif)
分別表示三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件，則
學(xué).files/image269.gif)
⑴恰有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率記為學(xué).files/image271.gif)
,則
學(xué).files/image273.gif)
……………………………………………4分
⑵用學(xué).files/image275.gif)
表示誤點(diǎn)的列數(shù)，則至少兩列誤點(diǎn)可表示為：
學(xué).files/image277.gif)
學(xué).files/image279.gif)
………………………………………………………6分
19．解：方法一：（I）證明：學(xué).files/image281.gif)
，
又學(xué).files/image283.gif)
平面學(xué).files/image285.gif)
平面ABCD，平面學(xué).files/image287.gif)
平面ABCD＝BC，
學(xué).files/image289.gif)
學(xué).files/image291.gif)
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得學(xué).files/image293.gif)
學(xué).files/image295.gif)
，即學(xué).files/image297.gif)
學(xué).files/image299.gif)
在平面ABCD內(nèi)的射影為AO，學(xué).files/image301.gif)
……4分
（II）解：學(xué).files/image303.gif)
，且平面平面ABCD
學(xué).files/image305.gif)
平面PBC， 學(xué).files/image307.gif)
平面PBC，學(xué).files/image309.gif)
學(xué).files/image311.gif)
為二面角P―DC―B的平面角 ……6分
學(xué).files/image313.gif)
是等邊三角形學(xué).files/image315.gif)
即二面角P―DC―B的大小為學(xué).files/image317.gif)
…8分
（III）證明：取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN，學(xué).files/image319.gif)
①
學(xué).files/image321.gif)
，且平面平面ABCD，學(xué).files/image323.gif)
平面PBC ……10分
學(xué).files/image325.gif)
平面PAB 學(xué).files/image327.gif)
平面平面PAB ②
由①、②知學(xué).files/image329.gif)
平面PAB…………..10分
連結(jié)DM、MN，則由MN//AB//CD，學(xué).files/image331.gif)
，
得四邊形MNCD為平行四邊形，學(xué).files/image333.gif)
，學(xué).files/image335.gif)
平面PAB．
學(xué).files/image337.gif)
平面PAD 平面學(xué).files/image339.gif)
平面PAB ……………….12分
方法二：取BC的中點(diǎn)O，因?yàn)?sub>學(xué).files/image341.gif)
是等邊三角形，
由側(cè)面底面ABCD 得學(xué).files/image343.gif)
底面ABCD ……1分
以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O―xyz……2分
學(xué).files/image345.gif)
（I）證明：學(xué).files/image347.gif)
，則在直角梯形中，學(xué).files/image349.gif)
在等邊三角形PBC中，學(xué).files/image351.gif)
……3分
學(xué).files/image353.gif)
學(xué).files/image355.gif)
學(xué).files/image357.gif)
學(xué).files/image359.gif)
，即學(xué).files/image361.gif)
…4分
（II）解：取PC中點(diǎn)N，則學(xué).files/image363.gif)
學(xué).files/image365.gif)
學(xué).files/image367.gif)
平面PDC，顯然學(xué).files/image369.gif)
，且學(xué).files/image371.gif)
平面ABCD
學(xué).files/image373.gif)
所夾角等于所求二面角的平面角 ……6分
學(xué).files/image375.gif)
學(xué).files/image377.gif)
，二面角學(xué).files/image379.gif)
的大小為 ……8分
（III）證明：取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)DM，則M的坐標(biāo)為學(xué).files/image381.gif)
又學(xué).files/image383.gif)
……10分
學(xué).files/image385.gif)
，學(xué).files/image387.gif)
學(xué).files/image389.gif)
即學(xué).files/image391.gif)
平面PAB，平面平面PAB ……12分
20．解：Ⅰ由已知得：學(xué).files/image393.gif)
……………………………………2分
當(dāng)學(xué).files/image395.gif)
解得：學(xué).files/image397.gif)
…………………………………………3分
當(dāng)學(xué).files/image399.gif)
時(shí)，學(xué).files/image401.gif)
，帶入上式得：學(xué).files/image403.gif)
配方得：學(xué).files/image405.gif)
所以學(xué).files/image407.gif)
……………………………………………5分
所以學(xué).files/image409.gif)
……………………………………7分
Ⅱ學(xué).files/image411.gif)
學(xué).files/image413.gif)
……………………………………………………………………10分
學(xué).files/image415.gif)
………………………12分
21．解：（I）右準(zhǔn)線學(xué).files/image418.gif)
，漸近線學(xué).files/image420.gif)
學(xué).files/image422.gif)
，學(xué).files/image424.gif)
學(xué).files/image426.gif)
學(xué).files/image428.gif)
……3分
（II）學(xué).files/image430.gif)
學(xué).files/image432.gif)
雙曲線C的方程為：學(xué).files/image435.gif)
……7分
（III）由題意可得學(xué).files/image437.gif)
……8分
證明：設(shè)學(xué).files/image439.gif)
，點(diǎn)學(xué).files/image441.gif)
由學(xué).files/image443.gif)
得學(xué).files/image445.gif)
學(xué).files/image447.gif)
與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q
學(xué).files/image449.gif)
學(xué).files/image451.gif)
……11分
學(xué).files/image453.gif)
，得學(xué).files/image455.gif)
學(xué).files/image457.gif)
學(xué).files/image459.gif)
學(xué).files/image461.gif)
學(xué).files/image463.gif)
的取值范圍是（0，1） ……13分
22解：⑴學(xué).files/image465.gif)
則學(xué).files/image467.gif)
，所以學(xué).files/image469.gif)
……………………………3分
學(xué).files/image471.gif)
；由此可知
當(dāng)學(xué).files/image473.gif)
時(shí)，函數(shù)學(xué).files/image053.gif)
單調(diào)遞增
當(dāng)學(xué).files/image475.gif)
時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值學(xué).files/image478.gif)
……………………………………………………………6分
⑵學(xué).files/image480.gif)
在區(qū)間學(xué).files/image137.gif)
上是單調(diào)減函數(shù)，
所以學(xué).files/image483.gif)
在區(qū)間學(xué).files/image228.gif)
上恒成立，有二次函數(shù)的圖像可知：
學(xué).files/image486.gif)
；令學(xué).files/image488.gif)
……………………………………………9分
當(dāng)直線經(jīng)過交點(diǎn)學(xué).files/image491.gif)
時(shí)，取得最小值學(xué).files/image130.gif)
…………………………………13分
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