例1、（2000年全國(guó)高考題）橢圓的焦點(diǎn)為FF，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FP F為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

解：F₁（－,0）F₂（,0）,設(shè)P（3cos,2sin）

為鈍角

∴  

     =9cos²－5＋4sin²=5 cos²－1<0

     解得：  ∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（）

點(diǎn)評(píng)：解決與角有關(guān)的一類問題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡(jiǎn)潔明了。

例2、已知定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)²+(y-4)²=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值。

分析：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以故可利用向量把問題轉(zhuǎn)化為求向量的最值。

解：設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得：

又由中點(diǎn)公式得

所以

             =

             =

             =

又因?yàn)?nbsp;點(diǎn)P在圓(x-3)²+(y-4)²=4上,                                 

所以  且                                                                

所以

即  故

所以的最大值為100，最小值為20。

點(diǎn)評(píng)：有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運(yùn)用向量知識(shí)來解決，也會(huì)顯得自然、簡(jiǎn)便，而且易入手。

例3、（2003年天津高考題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的（  ）

（A）外心      （B）內(nèi)心     （C）重心     （D）垂心

分析：因?yàn)橥�向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知是與∠ABC的角平分線（射線）同向的一個(gè)向量，又，知P點(diǎn)的軌跡是∠ABC的角平分線，從而點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。

反思：根據(jù)本題的結(jié)論，我們不難得到求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的步驟；

（1）       由頂點(diǎn)坐標(biāo)（含線段端點(diǎn)）或直線方程求得角兩邊的方向向量；

（2）       求出角平分線的方向向量

（3）       由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。{直線的點(diǎn)向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為}

例4、（2003年天津）已知常數(shù)，向量，經(jīng)過原點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于點(diǎn)，其中．試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.）

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.

∵，  ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.

因此，直線OP和AP的方程分別為   和 .

消去參數(shù)λ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.

整理得  ……①       因?yàn)樗�以得�?

（i）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；

   （ii）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；

   （iii）當(dāng)時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質(zhì)、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：

在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）為兩個(gè)定點(diǎn)，另兩邊OP與AP的斜率分別是，求P的軌跡。

而課本上有一道習(xí)題（數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）第96頁練習(xí)題4）：

三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-6，0）、（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關(guān)系。

例5．（2004年天津卷理22）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

  （1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.

分析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為.

  由已知得解得

所以橢圓的方程為，離心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

設(shè)直線PQ的方程為.由方程組

       得

依題意，得.

設(shè)，則，   ① .    ②

由直線PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④

由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或

（2）證明：.由已知得方程組

  注意，解得

因，故

.

而，所以.

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對(duì)向量與解析幾何結(jié)合考查，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，有效地滲透向量有關(guān)知識(shí)，樹立應(yīng)用向量的意識(shí)。應(yīng)充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會(huì)向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識(shí)，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用一些問題的結(jié)論，加以引申，使之成為解題方法，體會(huì)向量解題的優(yōu)越性，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用向量方法解題，逐步樹立運(yùn)用向量知識(shí)解題的意識(shí)。