1．掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題.

2．理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題.

3．理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應用問題.

4．掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.

5．了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義.

6．了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率.

7．了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.

8．會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率.

Ⅰ、隨機事件的概率

例1  某商業(yè)銀行為儲戶提供的密碼有0，1，2，…，9中的6個數(shù)字組成.

(1)某人隨意按下6個數(shù)字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？

(2)某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個數(shù)字進行試驗，按對自己的密碼的概率是多少？

解 （1）儲蓄卡上的數(shù)字是可以重復的，每一個6位密碼上的每一個數(shù)字都有0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為，隨意按下6個數(shù)字相當于隨意按下個，隨意按下6個數(shù)字相當于隨意按下個密碼之一，其概率是.

(2)以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前提下，隨意按下一個數(shù)字，等可能性的結(jié)果為0，1，2，…，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為.

例2  一個口袋內(nèi)有m個白球和n個黑球，從中任取3個球，這3個球恰好是2白1黑的概率是多少？（用組合數(shù)表示）

解  設(shè)事件I是“從m個白球和n個黑球中任選3個球”，要對應集合I₁，事件A是“從m個白球中任選2個球，從n個黑球中任選一個球”，本題是等可能性事件問題，且Card(I₁)= ，于是P(A)=.

Ⅱ、互斥事件有一個發(fā)生的概率

例3在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：

（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.

解 （1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。

恰有一件次品的概率P=.

(2)法一 從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A₁,恰有2件次品為事件A₂，3件全是次品為事件A₃,則它們的概率

P(A₁)= =,,,

而事件A₁、A₂、A₃彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率

P(A₁+A₂+A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)= .

法二 記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據(jù)對立事件的概率加法公式P()=

例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.

解  從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法

注  研究至少情況時，分類要清楚。

Ⅲ、相互獨立事件同時發(fā)生的概率

例5 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.

解  記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。

,命中野兔的概率為

例6  要制造一種機器零件，甲機床廢品率為0.05，而乙機床廢品率為0.1，而它們的生產(chǎn)是獨立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率.

解： 設(shè)事件A為“從甲機床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機床抽得的一件是廢品”.

則P（A）=0.05,  P(B)=0.1,

（1）至少有一件廢品的概率

（2）至多有一件廢品的概率

Ⅳ、概率內(nèi)容的新概念較多，本課時就學生易犯錯誤作如下歸納總結(jié)：

類型一  “非等可能”與“等可能”混同

例1  擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率．

錯解  擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和2，3，4，…，12共11種基本事件，所以概率為P=

剖析  以上11種基本事件不是等可能的，如點數(shù)和2只有(1，1)，而點數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=．

類型二  “互斥”與“對立”混同

例2  把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（      ）

      A．對立事件    B．不可能事件   C．互斥但不對立事件     D．以上均不對

錯解  A

剖析  本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在  ：

      (1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；(2)互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生．

      事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，一個不發(fā)生，可能兩個都不發(fā)生，所以應選C．

類型三  “互斥”與“獨立”混同

例3  甲投籃命中率為O．8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?

錯解  設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)：

剖析  本題錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和．互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同．

解：  設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，

則兩人都恰好投中兩次為事件A?B，于是P(A?B)=P(A)×P(B)= 0.169

1  甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題.

（Ⅰ）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？

（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？(2000年新課程卷)

2 如圖,用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N₁、N₂.當元件A、B、C都正常工作時,系統(tǒng)N₁正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時,系統(tǒng)N₂正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統(tǒng)N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂.  (2001年新課程卷)

3  某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立）.

（Ⅰ）求至少3人同時上網(wǎng)的概率；

（Ⅱ）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3？(2002年新課程卷)

4  有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗.

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001） (2003年新課程卷)

5. 從10位同學（其中6女，4男）中隨機選出3位參加測驗.每位女同學能通過測驗的概率均為，每位男同學能通過測驗的概率均為.試求：

（Ⅰ）選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率；

（Ⅱ）10位同學中的女同學甲和男同學乙同時被選中且通過測驗的概率.

 (2004年全國卷Ⅰ)

解：本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨立事件和互斥事件的概率以及運用概率知識

    解決實際問題的能力，滿分12分.

    解：（Ⅰ）隨機選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率為

            1－；………………6分

（Ⅱ）甲、乙被選中且能通過測驗的概率為

            ；………………12分

6. 已知8支球隊中有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組,每組4支.求：

（Ⅰ）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；

（Ⅱ）A組中至少有兩支弱隊的概率.   (2004年全國卷Ⅱ)

解：（Ⅰ）解法一：三支弱隊在同一組的概率為

故有一組恰有兩支弱隊的概率為

解法二：有一組恰有兩支弱隊的概率

（Ⅱ）解法一：A組中至少有兩支弱隊的概率

      解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對A組和B組來說，至少有兩支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊的概率為

（Ⅰ）求這名同學得300分的概率；

（Ⅱ）求這名同學至少得300分的概率.   (2004年全國卷Ⅲ)

8. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.

（Ⅰ）求所選3人都是男生的概率；

（Ⅱ）求所選3人中恰有1名女生的概率；

（Ⅲ）求所選3人中至少有1名女生的概率.   (2004年天津卷)

9. 某地區(qū)有5個工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電

（選哪一天是等可能的）.假定工廠之間的選擇互不影響.

（Ⅰ）求5個工廠均選擇星期日停電的概率；

（Ⅱ）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率.    (2004年浙江卷)

10. 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（Ⅰ）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.     (2004年福建卷)

11. 甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.

（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.

    (2004年湖南卷)

12.為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費用如下:

預防措施

甲

乙

丙

丁

P

0.9

0.8

0.7

0.6

費用（萬元）

90

60

30

10

預防方案可單獨采用一種預防措施或聯(lián)合采用幾種預防措施，在總費用不超過120萬元的前

提下,請確定一個預防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.(2004年湖北卷)

解：方案1：單獨采用一種預防措施的費用均不超過120萬元.由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.

方案2：聯(lián)合采用兩種預防措施，費用不超過120萬元，由表可知.聯(lián)合甲、丙兩種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1―(1―0.9)(1―0.7)=0.97.

方法3：聯(lián)合采用三種預防措施，費用不超過120萬元，故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預防措施，此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1―（1―0.8）(1―0.7)(1―0.6)=1―0.024=0.976.

綜合上述三種預防方案可知，在總費用不超過120萬元的前提下，聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.

13. 設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標的概率分別為0.7、0.6和0.5.

（Ⅰ）三人各向目標射擊一次，求至少有一人命中目標的概率及恰有兩人命中目標概率；（Ⅱ）若甲單獨向目標射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.  (2004年重慶卷)

14．從數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機抽取3個數(shù)字（允許重復）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為       （  D  ）

    A．           B．           C．           D．

15．（本小題滿分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響.假設(shè)該時刻有ξ部電話占線.試求隨機變量ξ的概率分布和它的期望.

解：本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念.考查運用概率知識解決實際問題的能力.滿分12分.

解：P(ξ=0)=0.5²×0.6²=0.09.

    P(ξ=1)= ×0.5²×0.6²+ ×0.5²×0.4×0.6=0.3

    P(ξ=2)=  ×0.5²×0.6²+×0.5²×0.4×0.6+ ×0.5²×0.4²=0.37.

    P(ξ=3)= ×0.5²×0.4×0.6+×0.5²×0.4²=0.2

    P(ξ=4)= 0.5²×0.4²=0.04

于是得到隨機變量ξ的概率分布列為：

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

16．從1，2，……，9這九個數(shù)中，隨機抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（C    ）

    A．             B．             C．            D．

17．在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521

    的數(shù)共有                                              （  C  ）

    A．56個           B．57個           C．58個           D．60個

18.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=    .(答案: 80)

19．標號為1，2，…，10的10個球放入標號為1，2，…，10的10個盒子內(nèi)，每個盒內(nèi)放一個球，則恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法共有 240  

    種.（以數(shù)字作答）

20.某校有老師200人，男學生1200人，女學生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數(shù)為80人，則n=    192     .