1．有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問(wèn)題，是在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問(wèn)題(包括論證、計(jì)算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問(wèn)題著手，通過(guò)較為基本問(wèn)題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問(wèn)題的規(guī)律――充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．

2．判定兩個(gè)平面平行的方法：

   （1）根據(jù)定義――證明兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)；

   （2）判定定理――證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面；

   （3）證明兩平面同垂直于一條直線。

3．兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì)：

    ⑴由定義知：“兩平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)”。

    ⑵由定義推得：“兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

    ⑶兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那

么它們的交線平行”。

    ⑷一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。

    ⑸夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。

    ⑹經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。

以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過(guò)程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。

4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決．

空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，]，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角θ∈0，π．

對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過(guò)空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．

如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）與向量法；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（記作q）通常有以下幾種方法：

(1) 根據(jù)定義；

(2) 過(guò)棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g，設(shè)g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q ；

(3) 利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面a內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè)平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q；

(4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q；

(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S^¢，則cosq＝.

5.空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離．

求距離的一般方法和步驟是：一作――作出表示距離的線段；二證――證明它就是所要求的距離；三算――計(jì)算其值．此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離．

6．棱柱的概念和性質(zhì)

⑴理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識(shí)的關(guān)鍵，要明確“棱柱   直棱柱    正棱柱”這一系列中各類(lèi)幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

⑵平行六面體是棱柱中的一類(lèi)重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體   直平行六面體   長(zhǎng)方體   正四棱柱   正方體”這一系列中各類(lèi)幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對(duì)棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。

⑷關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)定理是一個(gè)重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問(wèn)題是一常用的解題方法。

⑸多面體與旋轉(zhuǎn)體的問(wèn)題離不開(kāi)構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》第一部分的問(wèn)題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個(gè)角度來(lái)看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn)．

７．經(jīng)緯度及球面距離

⑴根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個(gè)線面角的度數(shù)，設(shè)球O的地軸為NS，圓O是0°緯線，半圓NAS是0°經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120°，北緯40°，我們可以作出過(guò)P的經(jīng)線NPS交赤道于B，過(guò)P的緯線圈圓O₁交NAS于A，那么則應(yīng)有：∠AO₁P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（線面角）。

⑵兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，因此，求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過(guò)這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。

例如，可以循著如下的程序求A、P兩點(diǎn)的球面距離。

線段AP的長(zhǎng)       ∠AOP的弧度數(shù)         大圓劣弧AP的長(zhǎng)

８．球的表面積及體積公式

 S_球表=4πR²                   V_球=πR³

⑴球的體積公式可以這樣來(lái)考慮：我們把球面分成若干個(gè)邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三角形的頂點(diǎn)，得到若干個(gè)小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無(wú)限變小時(shí)，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時(shí)小三棱錐底面面積的和就變成球面面積,小三棱錐高變成球半徑.由于第n個(gè)小三棱錐的體積＝S_nh_n（S_n為該小三棱錐的底面積,h_n為小三棱錐高），所以V_球＝S_球面?R＝?4πR²?R＝πR³.

    ⑵球與其它幾何體的切接問(wèn)題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問(wèn)題平面化。

1．  須明確《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》中所述的兩個(gè)平面是指兩個(gè)不重合的平面。

２．三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線面角找射影，面面角作平面角”而達(dá)到化歸目的，有時(shí)二面角大小出通過(guò)cos=來(lái)求。

３．有七種距離，即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來(lái)求。

例1、⑴已知水平平面內(nèi)的兩條相交直線a, b所成的角為，如果將角的平分線繞著其頂點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)作上下轉(zhuǎn)動(dòng)， 轉(zhuǎn)動(dòng)到離開(kāi)水平位值的處，且與兩條直線a,b都成角，則與的大小關(guān)系是                                 （   ）

A. 或                 B. >或 < 

C. >                        D. <

⑵已知異面直線a,b所成的角為70,則過(guò)空間一定點(diǎn)O,與兩條異面直線a,b都成60角的直線有                                                           (   )條.

A. 1         B. 2         C. 3           D. 4

⑶異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O有3條直線與a,b所成角都是60,則的取值可能是          (   ).

A. 30      B. 50      C. 60       D. 90

分析與解答:

⑴ 如圖1所示,易知直線上點(diǎn)Ａ在平面上的射影是ι上的點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥b,

則AC⊥b.   在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.顯然，AC>BC,

∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故選C.　　　　　　　　　　　　　　　　

                                                                   ι

（２）Ｄ（３）Ｃ

圖１

例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).

   （1）求證：MN⊥AB；

   （2）設(shè)平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角θ，問(wèn)能否確定θ使直線MN是異

面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應(yīng)θ的值；若不能，說(shuō)明理由.

解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是

以PC為斜邊的直角三角形，，又M為AB的中點(diǎn)，∴MN⊥AB.

（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA為所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.

設(shè)AB=a，PA=b，AD=d，則， 

設(shè)PM=CM則由N為PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，

∴MN為PC與AB的公垂線，這時(shí)PA=AD，∴θ=45°。

（1）求證：AB₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

（3）求二面角B₁―AC―B的平面角.

解:（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，

∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁，

 ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB_1,

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；

（3）連結(jié)B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B₁AC=60⁰

∴，  ∴,

∴  , ∴.

說(shuō)明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.

例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F。

（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；

（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；

（3）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使△DMC

為直角三角形？請(qǐng)給出證明.

解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB

面EFCD∩面SAB=EF，

∴CD∥EF ∵

又面 

∴ 平面SAD，∴又 

為直角梯形 

（2）平面∥平面SAD

即為二面角D―EF―C的平面角

中

而且

為等腰三角形，    

(3)當(dāng)時(shí)，為直角三角形 .

 ,

平面平面.

在中，為SB中點(diǎn)，.

平面平面 為直角三角形。

例5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AC與BD交于點(diǎn)E，CB與CB₁交于點(diǎn)F.

（II）求二面角B―EF―C的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

解法一：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，則AC是A₁C在底面ABCD的射影.

∵AC⊥BD.∴A₁C⊥BD.

同理A₁C⊥DC₁,又BD∩DC₁=D,

∴A₁C⊥平面BDC_1.

（Ⅱ）取EF的中點(diǎn)H，連結(jié)BH、CH，

又E、F分別是AC、B₁C的中點(diǎn)，

解法二：（Ⅰ）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0).

D(1,0,0),B(0,1,0),A₁(1,1,1),C₁(0,0,1),D₁(1,0,1)

（Ⅱ）同（I）可證，BD₁⊥平面AB₁C.