第12講 三角函數(shù)
高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng),難度較低,位置靠前,重點突出。因此,在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識的基礎(chǔ)性,突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)。以及化簡、求值和最值等重點內(nèi)容的復(fù)習(xí),又要注重三角知識的工具性,突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系,以及三角知識的應(yīng)用意識。
一、知識整合
1.熟練掌握三角變換的所有公式,理解每個公式的意義,應(yīng)用特點,常規(guī)使用方法等;熟悉三角變換常用的方法――化弦法,降冪法,角的變換法等;并能應(yīng)用這些方法進行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明;掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點,并能結(jié)合三角形的公式解決一些實際問題.
2.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì),并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點,并會用五點畫出函數(shù)的圖象;理解圖象平移變換、伸縮變換的意義,并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.
2004年各地高考中本部分所占分值在17~22分,主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分,我認(rèn)為有以下幾個層次:
第一層次:通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡單運用,解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。
第二層次:三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運用。如輔助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三層次:充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì),解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值,求復(fù)合函數(shù)值域等。
三、方法技巧
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
(1)常值代換:特別是用“1”的代換,如1=cos2θ+sin2θ=tanx?cotx=tan45°等。
(2)項的分拆與角的配湊。如分拆項:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配湊角:α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次與升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),這里輔助角所在象限由a、b的符號確定,角的值由tan=確定。
2.證明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式進行化名,化角,改變運算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。
(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。
3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
(1)發(fā)現(xiàn)差異:觀察角、函數(shù)運算間的差異,即進行所謂的“差異分析”。
(2)尋找聯(lián)系:運用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。
(3)合理轉(zhuǎn)化:選擇恰當(dāng)?shù)墓,促使差異的轉(zhuǎn)化。
四、例題分析
例1.已知,求(1);(2)的值.
解:(1);
(2)
.
說明:利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(如果不具備,通過構(gòu)造的辦法得到),進行弦、切互化,就會使解題過程簡化。
例2.求函數(shù)的值域。
解:設(shè),則原函數(shù)可化為
,因為,所以
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以,函數(shù)的值域為。
例3.已知函數(shù)。
(1)求的最小正周期、的最大值及此時x的集合;
(2)證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。
解:
(1)所以的最小正周期,因為,
所以,當(dāng),即時,最大值為;
(2)證明:欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,只要證明對任意,有成立,
因為,
,
所以成立,從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。
例4. 已知函數(shù)y=cos2x+sinx?cosx+1 (x∈R),
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時,求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
解:(1)y=cos2x+sinx?cosx+1= (2cos2x-1)+ +(2sinx?cosx)+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值時,只需2x+=+2kπ,(k∈Z),即 x=+kπ,(k∈Z)。
所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時,自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}
(2)將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換:
(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像;
(ii)把得到的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像;
(iii)把得到的圖像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像;
(iv)把得到的圖像向上平移個單位長度,得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。
綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。
說明:本題是2000年全國高考試題,屬中檔偏容易題,主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法:一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式,降冪后最終化成y=sin (ωx+)+k的形式,二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。本題(1)還可以解法如下:當(dāng)cosx=0時,y=1;當(dāng)cosx≠0時,y=+1=+1
化簡得:2(y-1)tan2x-tanx+2y-3=0
∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得:≤y≤
∴ymax=,此時對應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}
例5.已知函數(shù)
(Ⅰ)將f(x)寫成的形式,并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.
解:
(Ⅰ)由=0即
即對稱中心的橫坐標(biāo)為
(Ⅱ)由已知b2=ac
即的值域為.
綜上所述, , 值域為 .
說明:本題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識,還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的運算能力,對知識進行整合的能力。
例6.在中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且,
(1)求的值;
(2)若,且a=c,求的面積。
解:(1)由正弦定理及,有,
即,所以,
又因為,,所以,因為,所以,又,所以。
(2)在中,由余弦定理可得,又,
所以有,所以的面積為
。
例7.已知向量
,且,
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若,求的最大值與最小值。
解:(1),,,又,
所以,
所以,即;
(2)由(1)可得,令導(dǎo)數(shù),解得,列表如下:
t
-1
(-1,1)
1
(1,3)
導(dǎo)數(shù)
0
-
0
+
極大值
遞減
極小值
遞增
而所以。
例8.已知向量,
(1) 求的值;
(2) (2)若的值。
解:(1)因為
所以
又因為,所以,
即;
(2) ,
又因為,所以 ,
,所以,所以
例9.平面直角坐標(biāo)系有點
(1) 求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù);
(2) 求的最值.
解:(1),
即
(2) , 又 ,
, , .
說明:三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密,解題時要時刻注意。
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