1．在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；

3．培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法．

1．判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：

(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。

(2)通項(xiàng)公式法：

①若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數(shù)列；

②若  ，則為等比數(shù)列。

(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。

2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題――常用鄰項(xiàng)變號法求解：  

(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.

(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。

在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

1．證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得。

2．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。

3．注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：

=  ，  =．

4．?dāng)?shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．

5．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．

例1．已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S．

(2)過點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為θ，

證明：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常數(shù)(k=2，3，…，n)．

(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．

例2．已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，

⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。

分析：由于和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②

由①和②得，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3?2．

當(dāng)n≥2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式．

綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．

說明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。

2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用．

例3．（04年浙江）設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)的和S_n=（a_n-1） (n₊),（1）求a_1;a_2;   (2)求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列。

解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)當(dāng)n>1時(shí),

    得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.

例4、（04年重慶）設(shè)a₁=1,a₂=,a_n+2=a_n+1-a_n  (n=1,2,---),令b_n=a_n+1-a_n  (n=1,2---)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，(2)求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)的和S_n。

      解：（I）因

故{b_n}是公比為的等比數(shù)列，且 

       （II）由

       注意到可得

       記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，則

例5．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，­為公差的等差數(shù)列。

⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。

⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求的通項(xiàng)公式。

解：（1）

（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：

把代入上式，得，的方程為：。

，

=

（3），

T中最大數(shù).

設(shè)公差為，則，由此得

說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運(yùn)用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。

例6．?dāng)?shù)列中，且滿足   

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求；

⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

由題意得，.

（2）若，

時(shí)，

（3）

若對任意成立，即對任意成立，

的最小值是，的最大整數(shù)值是7。

即存在最大整數(shù)使對任意，均有

說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。.

五、強(qiáng)化訓(xùn)練

（一）用基本量方法解題

1、（04年浙江）已知等差數(shù)列的公差為2，若a_1,a₃,a₄成等比數(shù)列，則a₂= （B ）

A  －4     B －6      C －8         D －10 

（二）用賦值法解題

2、（96年）等差數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（C ）

A  130        B  170       C  210       D  260

3、（01年）設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列， S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和,若{S_n}是等差數(shù)列，則q=__1_

4、設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)的和S_n= （對于所有n1），且a₄=54,則a₁=__2___

（三）用整體化方法解題

5、（00年）已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₁=0,則有（C ）             

   A  a₁+a₁₀₁>0     B  a₂+a₁₀₀<0    C   a₃+a₉₉=0    D  a₅₁=51

6、（02年）若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（A）                 

    A  13         B  12         C 11            D 10

7、（03年上海）在等差數(shù)列{a_n}中a₅=3，a₆=-2,a₄+a₅+…+a₁₀=-49

（四）用函數(shù)方法解題                       

8、（04年天津）已知數(shù)列{a_n},那么“對任意的nN₊,點(diǎn)P_n(n ,a_n)都在直線y=x+1上”是“{a_n}為等差數(shù)列”的（ B）

A必要條件  B 充分條件   C  充要條件  D  既不充分也不必要條件

9、（99年上海）已知等差數(shù)列{a_n}滿足3a₄=7a₇,且a₁>0,S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n取得最大值，則n=___9______.

10、（01年上海）已知數(shù)列{a_n}中a_n=2n-7,(nN₊),++--+=_153___  

（五）用遞推方法解題

11、（03年全國）設(shè){a_n}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a²_n+1-na_n²+a_n+1a_n=0,求它的通項(xiàng)公式是__1/n

12、（04年全國）已知數(shù)列{a_n}滿足a.₁=1,a_n=a₁+2a₂+3a₃+---+(n-1)a_n-1 (n>1),則{a_n}的通項(xiàng)a_n=______a₁=1;a_n=n2  

13、（04年北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。

已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為__3___，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為__當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

14. （04年全國）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_2k=a_2k-1+(-1)^K,a_2k+1=a_2k+3^k,其中k=1,2,3，…。

(1)求a_3,a₅；    （2）求{a_n}的通項(xiàng)公式

解：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0, a₃=a₂+3¹=3.a₄=a₃+(－1)²=4  a₅=a₄+3²=13,  所以，a₃=3,a₅=13.

    (II)  a_2k+1=a_2k+3^k = a_2k－1+(－1)^k+3^k,    所以a_2k+1－a_2k－1=3^k+(－1)^k,

    同理a_2k－1－a_2k－3=3^k－1+(－1)^k－1,      a₃－a₁=3+(－1).

    所以(a_2k+1－a_2k－1)+(a_2k－1－a_2k－3)+…+(a₃－a₁)

        =(3^k+3^k－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k－1+…+(－1)],

    由此得a_2k+1－a₁=(3^k－1)+[(－1)^k－1],

    于是a_2k+1=a_2k= a_2k－1+(－1)^k=(－1)^k－1－1+(－1)^k=(－1)^k=1.

{a_n}的通項(xiàng)公式為：

    當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n­=

    當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，