2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對(duì)值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類(lèi)、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．

4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(hào)(值)．

5．證明不等式的方法多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч�”，為溝通�?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．

6．不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類(lèi)問(wèn)題大致可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是建立不等式、解不等式；另一類(lèi)是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數(shù)學(xué)問(wèn)題，4.作答。

7．通過(guò)不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識(shí)中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)．

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來(lái)求解，。

2.解含參數(shù)不等式時(shí)，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類(lèi)討論思想的錄活運(yùn)用。

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。

4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

b)∈M，且對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問(wèn)題中的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將是解決該問(wèn)題的突破口．怎樣理解“對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點(diǎn)？

解：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)?|y-1|+(y+3)

(2)當(dāng)1≤y≤3時(shí)，

所以當(dāng)y=1時(shí)，= 4．

簡(jiǎn)評(píng)：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示

其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式

例2．已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足且，則的最大值是（  ）

 A．             B．              C．          D．

解：畫(huà)出圖象，由線性規(guī)劃知識(shí)可得，選D

例3．?dāng)?shù)列由下列條件確定：

（1）證明：對(duì)于,

（2）證明：對(duì)于．

證明：（1）

（2）當(dāng)時(shí)，

=。

例4．解關(guān)于的不等式：

分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法，分類(lèi)討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：當(dāng)

。

例5．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．

分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫(xiě)出來(lái)．即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質(zhì))

不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)

所以f(-2)的取值范圍是[6，10]．

解法二(數(shù)形結(jié)合)

建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時(shí)，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

簡(jiǎn)評(píng)：(1)在解不等式時(shí)，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯(cuò)解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問(wèn)題．若長(zhǎng)期這樣思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會(huì)迅速提高．

例6．設(shè)函數(shù)f(x)=ax²+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對(duì)一切都有.

分析：因?yàn)閤∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定，故設(shè)f(x)=a(x-x₀)²+f(x0)．

證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x₀)²+f(x₀)，則

又二次方程ax²+bx+c=±x無(wú)實(shí)根，故

Δ₁=(b+1)²-4ac＜0，Δ₂=(b-1)²-4ac＜0．

所以(b+1)²+(b-1)²-8ac＜0，即2b²+2-8ac＜0，即b²-4ac＜-1，所以|b²-4ac|＞1．

簡(jiǎn)評(píng)：從上述幾個(gè)例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí)，如果針對(duì)題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例7．某城市2001年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的6%，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？

解：設(shè)2001年末的汽車(chē)保有量為，以后每年末的汽車(chē)保有量依次為，每年新增汽車(chē)萬(wàn)輛。由題意得