第7講 化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用
一、知識整合
1.解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常遇到一些問題直接求解較為困難,通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程,選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換,將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對來說,對自己較熟悉的問題),通過新問題的求解,達(dá)到解決原問題的目的,這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”。
2.化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡單的數(shù)學(xué)問題外,每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講,解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程;瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想,解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是,如未知向已知轉(zhuǎn)化,復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化,新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化,命題之間的轉(zhuǎn)化,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,空間向平面的轉(zhuǎn)化,高維向低維轉(zhuǎn)化,多元向一元轉(zhuǎn)化,高次向低次轉(zhuǎn)化,超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等,都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。
3.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件,所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性;在不得已的情況下,進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化,應(yīng)附加限制條件,以保持等價(jià)性,或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。
4.化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則:
(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決。
(2)簡單化原則:將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題,通過對簡單問題的解決,達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。
(3)和諧化原則:化歸問題的條件或結(jié)論,使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式,或者轉(zhuǎn)化命題,使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。
(4)直觀化原則:將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決。
(5)正難則反原則:當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí),可考慮問題的反面,設(shè)法從問題的反面去探求,使問題獲解。
二、例題分析
例1.某廠2001年生產(chǎn)利潤逐月增加,且每月增加的利潤相同,但由于廠方正在改造建設(shè),元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等,隨著投入資金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同,問全年總利潤m與全年總投入N的大小關(guān)系是 ( )
A. m>N B. m<N C.m=N D.無法確定
[分析]每月的利潤組成一個(gè)等差數(shù)列{an},且公差d>0,每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列{bn},且公比q>1。,且,比較與的大小。
若直接求和,很難比較出其大小,但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù),其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bn=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列。
在同一坐標(biāo)系中畫出圖象,直觀地可以看出ai≥bi 則>,即m>N。
[點(diǎn)評]把一個(gè)原本是求和的問題,退化到各項(xiàng)的逐一比較大小,而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵,通過對問題的反思、再加工后,使問題直觀、形象,使解答更清新。
例2.如果,三棱錐P―ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂線ED=h.求證三棱錐P―ABC的體積.
分析:如視P為頂點(diǎn),△ABC為底面,則無論是S△ABC以及高h(yuǎn)都不好求.如果觀察圖形,換個(gè)角度看問題,創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式,則可走出困境.
解:如圖,連結(jié)EB,EC,由PA⊥BC,PA⊥ED,ED∩BC=E,可得PA⊥面ECD.這樣,截面ECD將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以ECD為底面,以PE、AE為高的小三棱錐,而它們的底面積相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以
VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=S△ECD•AE+S△ECD•PE=S△ECD •PA=•BC?ED?PA=.
評注:輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解.
例3.在的展開式中x的系數(shù)為( ).
(A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析與解:本題要求展開式中x的系數(shù),而我們只學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式乘法法則及二項(xiàng)展開式定理,因此,就要把對x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化:
思路1:直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)基本原理求解,則展開式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式, =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2),它的展開式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號中的一個(gè)中選取一次項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號中均選 擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到,故為?(3x)??24=5×3×16x=240x,所以應(yīng)選(B).
思路2 利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算,∵x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法.①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化,可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會有x項(xiàng),即(3x)?24=240x,故選(B);②如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化,則只 (x2+2) 4?3x中含有x一次項(xiàng),即?3x?C44?24=240x;③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化,就只有?(x2+3x)?24中會有x項(xiàng),即240x;④如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,=×展開式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)5中的一次項(xiàng)乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)5展開式中的一次項(xiàng)乘以(1+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)后得到,即為x?25+•24•x••15=160x+80x=240x,故選(B).
評注:化歸與轉(zhuǎn)化的意識幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。
例4.若不等式對一切均成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:
令,則要使它對均有,只要有
或。
點(diǎn)評:在有幾個(gè)變量的問題中,常常有一個(gè)變元處于主要地位,我們稱之為主元,由于思維定勢的影響,在解決這類問題時(shí),我們總是緊緊抓住主元不放,這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下,此路往往不通,這時(shí)若能變更主元,轉(zhuǎn)移變元在問題中的地位,就能使問題迎刃而解。本題中,若視x為主元來處理,既繁且易出錯(cuò),實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化,使問題變成關(guān)于p的一次不等式,使問題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化,解題簡單易行。
三、總結(jié)提煉
1.熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ);豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁;培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的總結(jié)和提煉,要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系!白セA(chǔ),重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。
2.為了實(shí)施有效的化歸,既可以變更問題的條件,也可以變更問題的結(jié)論,既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu),又可以變換問題的外部形式,既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識問題,又可以從幾何的角度去解決問題。
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