西安中學(xué)

師大附中

高2009屆第二次模擬考試

高新一中

長安一中

數(shù)學(xué)試題（文科）

命題人：西安中學(xué)   薛黨鵬

審題人：長安一中   岳建良

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分,考試時(shí)間120分鐘.

第I卷 (選擇題，共60分)

一.選擇題：本大題共12小題  每小題5分，共60分  在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 

1.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝

A.           B.｛x|0＜x＜3｝      C.｛x|1＜x＜3｝   D.｛x|2＜x＜3｝

2. 函數(shù)y＝8sin4xcos4x的最小正周期是(        ).

A.2π            B.4π                C.                D.

3. 已知等差數(shù)列中，，則前10項(xiàng)的和＝

A.100           B.210           C.380            D.400

4. 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

A.     B.     

C.     D.

5．某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家.為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是

A．2            B.3         C.5            D.13

6. 已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是

A．          B． 

C．          D．

7. 若雙曲線的離心率為2, 則雙曲線的離心率為

A．        B．           C．2            D．

8. 不等式的解集是

A．   B．   C． D．

 9．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為

A．           B．        C．            D．

10. 從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為

A．            B．        C．         D．

11. 若曲線的一條切線與直線垂直，則直線的方程為

A．    B．  

 C.  D．

12. 數(shù)列中,, , 則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和=

A.5          B. 20              C. 300         D. 652

第II卷（共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分  把答案填在題中橫線上 

13. 已知正數(shù)、滿足，則的最大值為_______.

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14.正四棱錐側(cè)面與底面所成的角為，則其側(cè)棱與底面所成角的正切值為        ．

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15. 二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.(結(jié)果用數(shù)值作答)

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16. 如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則稱此函數(shù)為自反函數(shù). 使得函數(shù)為自反函數(shù)的一組實(shí)數(shù)的取值為________

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三、解答題：本大題共6小題，共74分  解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17．（本題滿分12分）已知函數(shù).

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（Ⅰ）在所給的坐標(biāo)紙上作出函數(shù)的圖象(不要求寫出作圖過程).

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（Ⅱ）令，.求函數(shù)的最小值以及取得最小值時(shí)所對應(yīng)的的集合.

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18．（本題滿分12分）按照新課程的要求, 高中學(xué)生在每學(xué)期都要至少參加一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)(以下簡稱活動(dòng)). 該校高三一班50名學(xué)生在上學(xué)期參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．

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（I）求該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；

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（II）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．

（要求：答案用最簡分?jǐn)?shù)表示）

 

 

 

 

 

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19．（本題滿分12分）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

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   （1）證明：；

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   （2）求二面角的正切值.

 

 

 

 

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20. （本題滿分12分）設(shè)函數(shù)

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（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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（II）若對任意的的取值范圍.

 

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21. （本題滿分12分） 已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，離心率等于.直線與橢圓Γ交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；

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(Ⅱ) 若橢圓Γ的右焦點(diǎn)恰好為的垂心,試求出直線的方程.

 

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22. （本題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足對一切,有，其中。

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(Ⅰ)求證: 對一切,有;

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(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

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(Ⅲ)求證：當(dāng)時(shí),有.

 

 

 

 

 

 

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數(shù)學(xué)答題紙（文科）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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二、填空題:(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.          ,   14.          .  15.          .   16.          .

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三、解答題:(本大題共6小題，共74分)

17.（Ⅰ）

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（Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

18. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

   （Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

19. （Ⅰ）

 

試題詳情

 

（Ⅱ）

  

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   （Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

試題詳情

21. （I）

 

 

 

 

 

 

  (II)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

22. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

 

(Ⅲ)

 

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高新一中

長安一中

試題詳情

一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

B

A

C

D

D

D

A

B

A

A

二.填空題

   13.4；        14. ；       15.15；     16.,可以填寫任一實(shí)數(shù).

三.解答題

17. （Ⅰ）列表：

2

6

10

14

0

1

3

1

1

描點(diǎn)作圖，得圖象如下.

6分

（Ⅱ）

所以,當(dāng),即時(shí),函數(shù)取得最小值.     12分

18.由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20．

（I）該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為=．    6分

（II）從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為．                                              12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點(diǎn)，

∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′.                  6分

（Ⅱ）法一：設(shè)M是線段EC的中點(diǎn)，過M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，

∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC

∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，

∴，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                              12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由

取

∴

∴二面角D′―BC―E的正切值為.                                 12分

20．（I），

   （II）由（I）知

   

21（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設(shè)直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設(shè)，則，.于是

解之得或.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知和橢圓相交，符合題意.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí), 點(diǎn)是的垂心.        12分

22.(Ⅰ)對一切有

于是,                            

         ()   5分

(Ⅱ)由及

兩式相減,得:

  

        

       ∴.                                10分

(Ⅲ) 由于，        

所以，   14分

 

 


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