1．設(shè)集合，，，則（    ）

A．          B．         C．              D．

2．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（    ）

A．2             B．3              C．4              D．5

3．函數(shù)的反函數(shù)是（    ）

A．             B．

C．                D．

4．若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則（    ）

A．12            B．13            C．14            D．15

5．設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是（    ）

A．             B．

C．             D．

6．把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（    ）

A．          B．

C．          D．

7．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（    ）

A．          B．          C．          D．

8．已知函數(shù)則不等式的解集為（    ）

A．            B．           C．            D．

9．設(shè)，，，則（    ）

A．              B．              C．              D．

10．設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值的集合為（    ）

A．              B．             C．             D．

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)（文史類）

第Ⅱ卷

注意事項(xiàng)：

1．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．

2．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上．

3．本卷共12小題，共100分．

11．一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過(guò)45歲的有120人，超過(guò)45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)45歲的職工           人．

12．的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為         （用數(shù)字作答）．

13．若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為          ．

14．已知平面向量，，若，則          ．

15．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為             ．

16．有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有         種（用數(shù)字作答）．

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的最小正周期是．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

18．（本小題滿分12分）

甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為．

（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率．

19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大�。�

（Ⅲ）求二面角的大�。�

20．（本小題滿分12分）

已知數(shù)列中，，，且．

（Ⅰ）設(shè)，證明是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．

21．（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

22．（本小題滿分14分）

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)（文史類）參考解答

1．A      2．D      3．A      4．B       5．C       6．C       7．B       8．A      9．D      10．B

11．10           12．10           13．              14．

15．              16．432

（1）設(shè)集合，，，則

    （A）    （B）　 （C）  （D）

解析：因?yàn)�，所以，選A．

（2）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

    （A）2   　　　�。˙）3  　　　　 （C）4  　　　�。―）5

　　解析：如圖，由圖象可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，，選D．

（3）函數(shù)（）的反函數(shù)是

    （A）（）　　  （B）（）

（C）（）   　　（D）（）

解析：當(dāng)時(shí)，，解得，選A．

（4）若等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且，則

（A）12　　   　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　   （D）15

解析：，所以，選B．

（5）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是

（A）  　�。˙） 

 （C）   　 （D）

解析：選C，A、B、D的反例如圖．

（6）把函數(shù)（）的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是

（A），        （B），

（C），         （D），

解析：選C,

．

（7）設(shè)橢圓（，）的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為

（A）    （B）　 （C）  （D）

解析：拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓焦點(diǎn)在軸上，排除A、C，由排除D，選B．

（8）已知函數(shù)，則不等式的解集是

（A）   　 （B）　 �。–）　  �。―）

解析：依題意得，選A．

（9）設(shè)，，，則

   （A）   （B）  （C）   （D）

解析：，因?yàn)�，所以，選D．

（10）設(shè)，若對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值集合為

（A）    （B）　 （C）  （D）

解析：易得，在上單調(diào)遞減，所以，故，選B．

（11）一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過(guò)45歲的有120人，超過(guò)45歲的有80人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過(guò)45歲的職工________________人．

　　解析：依題意知抽取超過(guò)45歲的職工為．

（12）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是________________（用數(shù)字作答）．

解析：，，所以系數(shù)為10．

（13）若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為_(kāi)_______________．

　　解析：由得，所以．

（14）已知平面向量，．若，則_____________．

　　解析：因?yàn)�，所以�?/p>

（15）已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_(kāi)______________________．

解析：圓心的坐標(biāo)為，所以，圓的方程為．

（16）有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________________種（用數(shù)字作答）．

解析：數(shù)字之和為10的情況有4，4，1，1、　4，3，2，1、　3，3，2，2．

所以共有種不同排法．

17．本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．滿分12分．

（Ⅰ）解：

               ．

由題設(shè)，函數(shù)的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以函數(shù)的最大值是，此時(shí)的集合為．

18．本小題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．滿分12分．

（Ⅰ）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得

，

解得或（舍去），所以乙投球的命中率為．

解法二：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件，由題意得

，

于是或（舍去），故．

所以乙投球的命中率為．

（Ⅱ）解法一：由題設(shè)和（Ⅰ）知，，．

故甲投球2次至少命中1次的概率為．

解法二：由題設(shè)和（Ⅰ）知，，．

故甲投球2次至少命中1次的概率為．

（Ⅲ）解：由題設(shè)和（Ⅰ）知，，，，．

甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分別為

，

，

．

所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為

．

19．本小題主要考查直線和平面垂直、異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間相角能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．滿分12分．

（Ⅰ）證明：在中，由題設(shè)，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（Ⅱ）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以異面直線與所成的角的大小為．

（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié)．

因?yàn)槠矫�，平面，所以．又，因而平面，故為在平面�?nèi)的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．

由題設(shè)可得，

，，

，，

．

于是在中，．

所以二面角的大小為．

20．本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．

（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得

，

即

．

又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

，

，

……

．

將以上各式相加，得．所以當(dāng)時(shí)，

上式對(duì)顯然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．

由可得，由得

，      ①

整理得，解得或（舍去）．于是

．

另一方面，

，

．

由①可得

．

所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．

21．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：．

當(dāng)時(shí)，

．

令，解得，，．

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．

（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．

解此不等式，得．這時(shí)，是唯一極值．

因此滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）解：由條件可知，從而恒成立．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

    即

在上恒成立．

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．

22．本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設(shè)雙曲線的方程為，由題設(shè)得

   解得

所以雙曲線的方程為．

（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得

．

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且

．整理得

．        ③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足

，．

從而線段的垂直平分線的方程為

．

此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．由題設(shè)可得

．

整理得

，．

將上式代入③式得，

整理得

，．

解得或．

所以的取值范圍是．