2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(陜西卷)
文科數(shù)學(xué)(必修+選修Ⅰ)
一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的(本大題共12小題,每小題5分,共60分).
2.已知全集,集合,,則集合( D )
A. B. C. D.
解:,所以
3.某林場(chǎng)有樹苗30000棵,其中松樹苗4000棵.為調(diào)查樹苗的生長(zhǎng)情況,采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本,則樣本中松樹苗的數(shù)量為( C )
A.30 B.25 C.20 D.15
解:設(shè)樣本中松樹苗的數(shù)量為,則
4.已知是等差數(shù)列,,,則該數(shù)列前10項(xiàng)和等于( B )
A.64 B.100 C.110 D.120
解:設(shè)公差為,則由已知得
5.直線與圓相切,則實(shí)數(shù)等于( C )
A.或 B.或 C.或 D.或
解:圓的方程,圓心到直線的距離等于半徑或者
6.“”是“對(duì)任意的正數(shù),”的( A )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解:,顯然也能推出,所以“”是“對(duì)任意的正數(shù),”的充分不必要條件。
7.已知函數(shù),是的反函數(shù),若(),則的值為( D )
A.10 B.4 C.1 D.
解:于是
8.長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上,其中,則兩點(diǎn)的球面距離為 ( C )
A. B. C. D.
解:設(shè)則
即,在中,
從而點(diǎn)的球面距離為
9.雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別是,過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn),若垂直于軸,則雙曲線的離心率為( B )
A. B. C. D.
解:如圖在中,
,
10.如圖,到的距離分別是和,與所成的角分別是和,在內(nèi)的射影分別是和,若,則( D )
C. D.
解:由勾股定理,又,
,,而,所以,得
11.定義在上的函數(shù)滿足(),,則等于( A ) A.2 B.3 C.6 D.9
解:令,令;
令得
12.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)定原信息為(),傳輸信息為,其中,運(yùn)算規(guī)則為:,,,,例如原信息為111,則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò),則下列接收信息一定有誤的是( C )
A.11010 B.01100 C.10111 D.00011
解:C選項(xiàng)傳輸信息110,,應(yīng)該接收信息10110。
13.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則 .
解: 由正弦定理,于是
二、填空題:把答案填在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上(本大題共4小題,每小題4分,共16分).
14.的展開式中的系數(shù)為 84 .(用數(shù)字作答)
解:,令,
因此展開式中的系數(shù)為
15.關(guān)于平面向量.有下列三個(gè)命題:
①若,則.②若,,則.
③非零向量和滿足,則與的夾角為.
其中真命題的序號(hào)為 ② .(寫出所有真命題的序號(hào))
解:①,向量與垂直
②
③構(gòu)成等邊三角形,與的夾角應(yīng)為
所以真命題只有②。
16.某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生,則不同的傳遞方案共有 96 種.(用數(shù)字作答).
解:分兩類:第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案種
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
解:(Ⅰ).
的最小正周期.
三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟(本大題共6小題,共74分)
當(dāng)時(shí),取得最小值;當(dāng)時(shí),取得最大值2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又.
.
.
函數(shù)是偶函數(shù).
18.(本小題滿分12分)
一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球,3個(gè)黑球和4個(gè)白球,從口袋中一次摸出一個(gè)球,摸出的球不再放回.
(Ⅰ)連續(xù)摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;
(Ⅱ)如果摸出紅球,則停止摸球,求摸球次數(shù)不超過3次的概率.
解:(Ⅰ)從袋中依次摸出2個(gè)球共有種結(jié)果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 種結(jié)果,則所求概率 .
(Ⅱ)第一次摸出紅球的概率為,第二次摸出紅球的概率為,第三次摸出紅球的概率為,則摸球次數(shù)不超過3次的概率為 .
19.(本小題滿分12分)
三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為,,平面,,,,,.
(Ⅱ)求二面角的大。
解:解法一:(Ⅰ)平面平面,
.在中,,
,,又,
,,即.
平面,平面平面.
(Ⅱ)如圖,作交于點(diǎn),連接,
由已知得平面.
是在面內(nèi)的射影.
由三垂線定理知,
為二面角的平面角.
過作交于點(diǎn),
則,,.
在中,.
在中,.,
即二面角為.
則,
,.
點(diǎn)坐標(biāo)為.
,.
,,,,又,
平面,又平面,平面平面.
(Ⅱ)平面,取為平面的法向量,
設(shè)平面的法向量為,則.
,如圖,可取,則,
,
即二面角為.
20.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列的首項(xiàng),,….
(Ⅰ)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)列的前項(xiàng)和.
解:(Ⅰ) , ,
,又,,
數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,.
設(shè)…, ①
則…,②
由①②得
,
.又….
數(shù)列的前項(xiàng)和 .
21.(本小題滿分12分)
已知拋物線:,直線交于兩點(diǎn),是線段的中點(diǎn),過作軸的垂線交于點(diǎn).
(Ⅰ)證明:拋物線在點(diǎn)處的切線與平行;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)使,若存在,求的值;若不存在,說明理由.
解:解法一:(Ⅰ)如圖,設(shè),,
把代入得,
,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,
將代入上式得,
直線與拋物線相切,
,.
即.
(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使,則,又是的中點(diǎn),
.
由(Ⅰ)知
.
軸,.
又
.
,解得.即存在,使.
解法二:(Ⅰ)如圖,設(shè),把代入得
.由韋達(dá)定理得.
,點(diǎn)的坐標(biāo)為.,,
拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為,.
(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使.
由(Ⅰ)知,則
,
,,解得.
即存在,使.
22.本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù)其中實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且存在最小值時(shí),記的最小值為,求的值域;
(Ⅲ)若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù),求的取值范圍.
解:(Ⅰ) ,又,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).
(Ⅱ)由題意知 ,
即恰有一根(含重根). ≤,即≤≤,
又, .
當(dāng)時(shí),才存在最小值,. ,
. 的值域?yàn)椋?/p>
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù).
由題意得,解得≥;
當(dāng)時(shí),在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù).
由題意得,解得≤;
綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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