1、設(shè)集合，則 (  )

Ａ.　　　　　    Ｂ.　　    　 Ｃ.　　　　　   Ｄ.

2、已知復(fù)數(shù)，則（   ）

A. 2                   B. －2                C.                  D.  

3、若等差數(shù)列滿足，，則的值是（    ）

A．20                 B．36                     C．24                 D．72

4、已知是的高的交點(diǎn)， 則有（ �。�

A．         B．   

C．         D．

5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的問題引起了全社會(huì)的關(guān)注。某市質(zhì)量監(jiān)督局為了保證人民的飲食安全要對(duì)超市中奶粉的質(zhì)量進(jìn)行專項(xiàng)抽查，已知該地區(qū)超市中賣的各種類型的奶粉的分布情況如下：老年人專用奶粉300種，普通奶粉240種，嬰幼兒奶粉360種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取150種進(jìn)行檢驗(yàn)，則這三種型號(hào)的奶粉依次應(yīng)抽�。�  ）

A. 18種，12種，24種                    B. 7種，30種，10種

C. 50種，40種，60種                    D. 8種，21種，18種

6、設(shè)正數(shù)，則“”是“”的（   ）

A．充分而不必要條件              B．必要而不充分條件

C．充分必要條件                   D．既不充分也不必要條件

7、奇函數(shù)在上的解析式為，則不等式的解集為（    ）

A．   B．  C．     D．

8、已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)的和為（　�。�

A．              　　　B．          　　C．           　D．

9、為得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（均為正數(shù)），則的最小值是（    ）

A．                   B．             C.                 D．

10、拋物線的焦點(diǎn)為，其上的動(dòng)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，若，則的橫坐標(biāo)是（    ）

Ａ．             Ｂ．                  Ｃ．                  Ｄ．

11、在三棱錐中，，，則下面一定成立的是（   ）

A.                           B.

C.                           D.

12、下表為第29屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前10名，設(shè)表示從“金牌、銀牌、銅牌、總數(shù)”4項(xiàng)的獎(jiǎng)牌數(shù)中任取不同兩個(gè)構(gòu)成的一個(gè)排列，按下面的方式對(duì)10個(gè)國(guó)家進(jìn)行排名：

首先按由大至小排序（表格中從上至下），若值相同，則按值由大至小排序，若值也相同，則順序任意，那么在所有的排序中，中國(guó)的排名之和是（    ）

A．15       B．20             C．24              D．27

_{第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）}

13、已知函數(shù)的反函數(shù)為，若，則a =        .

14、一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積為        .

15、將一個(gè)長(zhǎng)、寬分別是8，7的鐵皮的四角均切去邊長(zhǎng)為的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體的盒子，則當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線最短時(shí)，的值為     .

16、數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn),，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是      .

17、（本小題滿分10分）

設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且．

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求；

18、（本小題滿分12分）

第29屆奧運(yùn)會(huì)期間，來自美國(guó)和英國(guó)的共計(jì)6名志愿者被隨機(jī)地平均分配到跳水、籃球、體操這三個(gè)崗位服務(wù)，且跳水崗位至少有一名美國(guó)志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中來自美國(guó)、英國(guó)的各幾人；

（2）求籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各一人的概率．

（3）（只理科作）設(shè)隨機(jī)變量為在體操崗位服務(wù)的美國(guó)志愿者的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望

19、（本小題滿分12分）

如圖，已知平面，平面，三角形為等邊三角形，

，為的中點(diǎn)

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的大小。

20、（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，

（1）若存在使不等式能成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

21、（本小題滿分12分）

已知橢圓的右準(zhǔn)線方程為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說明理由.

22、（本小題滿分12分）

在數(shù)列中，a₁=2，b₁=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）

（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測(cè)的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（2）證明：．

2009屆先知模擬卷數(shù)學(xué)試題（一）

答案解析及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、B  ，，故

_{2. B}

3. C  因，得_，，得，則， ，

則

4．Ｄ   點(diǎn)是的高的交點(diǎn)，則

因此∴

同理可得: ,∴

5、C 根據(jù)分層抽樣的知識(shí)可知，抽樣比為，則老年人專用奶粉應(yīng)該抽取30050種，普通奶粉24040種，嬰幼兒奶粉36060種.從而可知答案選C．

6. A  ，平方得， 但反之無法推出，故是充分而不必要條件

_{7、B 根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，觀察圖像即可}．

8．Ｂ 所求和為．

9、B 由周期性可知，，，

則，易知當(dāng)時(shí)，

10、A   ，故，由拋物線定義可知，故是等邊三角形，必有，說明F在的垂直平分線上，故，得M的橫坐標(biāo)是

11、B  易知，， ,由，故，，故

12、D   提示：分類討論：若為金牌，3種排序中，中國(guó)均第1；若為銀牌，在銀牌-金牌，銀牌-總數(shù)兩種排序中，中國(guó)均第2，在銀牌-銅牌的排序中，中國(guó)排第2或第3；若為銅牌，在銅牌-金牌，銅牌-總數(shù)的排序中，中國(guó)均第2，在銅牌-銀牌的排序中，中國(guó)排第2或第3；若為總數(shù)，則3種排列中國(guó)均第2；故在所有的排序中，中國(guó)的排名之和為，選D

13．6 ， ∴，∴.

14．pa³  以棱長(zhǎng)為a的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以補(bǔ)成棱長(zhǎng)為a的正方體

，而一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，即這個(gè)球與正方體的六個(gè)面都相切，因此，球的半徑即為正方體棱長(zhǎng)的，即R=a，所以V_球＝p(a)³＝pa³.

15．  設(shè)對(duì)角線為，則，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)有最小值，且，是符合實(shí)際情況的

16、  AB中點(diǎn)為（1，2），直線AB的垂直平分線方程為，將其與歐拉線方程聯(lián)立，解得外心（，1），設(shè)C(a，b)，則重心，有與，聯(lián)立得或（舍）．

17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，

可得

即，故； 5分

（2），

故，

得，因，故，于是，

所以當(dāng)時(shí)，  10分

18.(12分)解：（1）記至少一名美國(guó)志愿者被分到跳水崗位為事件，則的對(duì)立事件為“沒有美國(guó)志愿者被分到跳水崗位”，設(shè)有美國(guó)人個(gè)，，那么，解得，即來自美國(guó)的2人，來自英國(guó)的4人．4分

（2）記籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各有一人為事件，那么，

所以籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各一人的概率是．理8分文12分

（3）（只理科作）的所有可能值為0，1，2，

　　　 ，，

         故有分布列

0

1

2

P

　　　　　　　從而（人）理12分

19．(12分)（1）證明：取的中點(diǎn)，連，

∵為的中點(diǎn) 

∴，而平面，平面，

故，又，

∴四邊形為平行四邊形

∴,又

所以平面    3分

（2）∵為等邊三角形，∴，而

故平面      5分

∵，∴平面

所以平面平面       7分

（3）在平面內(nèi)作交于，在平面內(nèi)作交于，連  ∵平面平面  ∴平面，由三垂線定理得

∴為二面角的平面角      9分

設(shè)，則，

∴    10分

又，其中  ∴    

∴

所以二面角的大小為（或）      .12分

方法二：

設(shè)，則；由已知得

建立如圖所示的坐標(biāo)系，     

則：

∵為的中點(diǎn)，∴      2分

（1）證明：      3分

∵，A不在平面內(nèi)，∴平面      4分

（2）∵   5分

∴，∴      6分

∴平面，又平面

∴平面平面      7

（3）設(shè)平面的法向量為

由可得：     

設(shè)平面的法向量為

由可得：      9分

∴    

∴二面角的大小為      12分

20.(12分) 解：（1）設(shè)在的最小值為，依題意有，

    ， 當(dāng)時(shí)，故在為增函數(shù)， ，于是，即實(shí)數(shù)的最小值為1  6分

   （2）依題意得，在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，

    令，，

    當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

    故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，8分

算得，，即，

故應(yīng)有

    ，故12分

21.(12分)解.：(1)由題意可知，又，解得，

橢圓的方程為；4分

（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為

，代入，得，

設(shè)，則   ①

，6分

，

而的方向向量為，

;

于是當(dāng)時(shí),，也即存在這樣的直線;

當(dāng)時(shí),不存在，即不存在這樣的直線 .12分

22.解：（1）由條件得，由此可得

．

猜測(cè)．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即

，

那么當(dāng)時(shí)，

．

所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．

由①②，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立．6分

（2）．

時(shí)，由（1）知．

故

綜上，原不等式成立．12分