§2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)――方程的建立

[教學(xué)目標(biāo)]

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過探究和合作交流,培養(yǎng)學(xué)生良好的互助意識(shí)。

一、創(chuàng)設(shè)情景

試題詳情

1、學(xué)習(xí)直線與圓時(shí),對圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了以下過程

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

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2、學(xué)習(xí)了橢圓的定義,也有類似的思考

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

試題詳情

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

如圖,建立直角坐標(biāo)系xOy,使x軸經(jīng)過點(diǎn)F1、F2,并且O與線段F1F2的中點(diǎn)重合.

設(shè)Mx,y)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的焦距為2c(c>0),

那么焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c,0),(c,0).

又設(shè)MF1F2的距離的和等于常數(shù)2a.

由橢圓定義,橢圓就是集合P={MMF1+MF2=2a

試題詳情

因?yàn)?i>MF1=MF2=

試題詳情

所以得:+=2a整理得:(a2c2x2+a2y2=a2(a2c2).

試題詳情

由橢圓的定義可知:2a2c,即ac,故a2c2>0.

試題詳情

a2c2=b2,其中b>0,代入上式整理得:

試題詳情

2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

 

 

標(biāo)準(zhǔn)方程

試題詳情

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點(diǎn)

 

 

 

試題詳情

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焦點(diǎn)坐標(biāo)

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兩軸上截距

(±a,0)與(0,±a)

(0,±a)與(±b,0)

點(diǎn)

定   義

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于

常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡

a、b、c的關(guān)系

試題詳情

焦點(diǎn)位置的判斷

分母哪個(gè)大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上

橢圓的一般方程:mx2+ny2=1    (m,n∈R+,m≠n)

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

試題詳情

1、例1. 已知一個(gè)運(yùn)油車上的儲(chǔ)油罐截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓,它的焦距為2.4m,外輪廓線上的兩個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為3m,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

試題詳情

分析:

試題詳情

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:

試題詳情

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例2、已知方程(2-k)x2+ky2=2k-k2表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求k的范圍

試題詳情

解:原方程可以化為+=1,k>2-k>0,故1<k<2

  練習(xí):課本28頁1,2,3

四、回顧總結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求理解并掌握橢圓定義,并熟練掌握橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程

試題詳情

作業(yè):課本第28頁1、2、4

[補(bǔ)充習(xí)題]

試題詳情

1、方程=10,化簡的結(jié)果是 __________   

試題詳情

2、如圖,F(xiàn)(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且CF⊥x軸,OC∥AB,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________

試題詳情

試題詳情

3、α,方程sinαx2+cosαy2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則α的取值范圍為 _____

試題詳情

4、橢圓焦距為2,則m=________________

試題詳情

5、橢圓中a+c=10,a-c=4,則橢圓的方程為___________________________

試題詳情

6、 已知⊙C1:x2+y2+4x=0,⊙C2:x2+y2-4x-60=0,⊙M和定圓⊙C1外切和⊙C2內(nèi)切,求點(diǎn)M的軌跡方程

試題詳情

7*、在面積為l的△PMN中tgM=1/2,tgN=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出以M,N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程.                

試題詳情

[答案]1、

試題詳情

2、

試題詳情

3、(0,

試題詳情

4、5或3

試題詳情

5、橢圓

試題詳情

6、
 7*、 
 解法一:建立直角坐標(biāo)系如圖:以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸。
設(shè)橢圓方程為:x2/a2+y2/b2=1 分別記M、N、P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-c,0)、(c,0)和(x0,y0).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴ 由題設(shè)知       在△MNP中,MN=2c,MN上的高為4c/3
  ∴    
  ∴a=(│PM│+│PN│)/2=從而 b2=a2-c2=3.
解法二:同解法一得:∵ 點(diǎn)P在橢圓上,且a2=b2+c2.   解得b2=3 或 b2=-1/3(舍去)a2=b2+c2=15/4.故所求橢圓的方程為:4x2/15+y2/3=1

試題詳情

§2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)――標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo):

教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)難點(diǎn):根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)過程:

二、數(shù)學(xué)運(yùn)用

試題詳情

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備:橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1求中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

試題詳情

分析:可能是a,也可能是b,相應(yīng)設(shè)方程、解方程得到橢圓方程為:5x2+4y2=1或4x2+5y2=1

變形:設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,M為橢圓上任意一點(diǎn),MF1F2能構(gòu)成三角形,方程是什么? MF1>MF2呢?

說明:①求出曲線后,要注意檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意,如果有不符合題意的點(diǎn),應(yīng)在所得方程后注明限制條件;

②要求學(xué)生對圓錐曲線的定義比較熟悉,這樣可以在求曲線軌跡方程時(shí),簡化求解步驟,快速準(zhǔn)確的用待定系數(shù)法求方程。

試題詳情

例2  將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话�,求所得曲線得方程,并說明它是什么曲線?

試題詳情

解:[方法一]用相關(guān)點(diǎn)法:設(shè)所得曲線上任意一點(diǎn)得坐標(biāo)為,圓上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為     因?yàn)?sub>    所以

試題詳情

[方法二]參數(shù)法:設(shè)圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(2cosθ,2sinθ), 曲線上任意一點(diǎn)得坐標(biāo)為,則

試題詳情

,消去θ得方程為

說明:在求解曲線軌跡的過程當(dāng)中,使用到了利用中間變量求軌跡的方法,此中間變量可以是相關(guān)點(diǎn)法,也可以是參數(shù)法。

試題詳情

變式: 已知F是橢圓25x2+16y2=400在x軸上方的焦點(diǎn),Q是此橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)P的中點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(100x2+16(2y-32=400)

試題詳情

例3、已知P為橢圓上的一點(diǎn),是焦點(diǎn),,求面積S

試題詳情

解:S=PF1.PF2sinα,而F1F22=PF12+PF22-2PF1.PF2cosα=(PF1+PF2)2-2PF1.PF2(1+cosα)

試題詳情

4c2=4a2-2PF1.PF2(1+cosα)PF1.PF2=2(a2-c2)=2b2,S=.2b2=

說明:橢圓的方程和定義有時(shí)要混合使用

試題詳情

練習(xí):橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A,F1為左焦點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)P,使PF1+PA取最值

(設(shè)F2為右焦點(diǎn),則PF1+PA=2a+PA-PF2,過A和F2作直線與橢圓的交點(diǎn)即為所求)

三、回顧總結(jié):

(1)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程;

試題詳情

(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè);標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系;

(3)用定義法、待定系數(shù)法、中間變量法求橢圓的方程

[補(bǔ)充習(xí)題]

試題詳情

四、布置作業(yè):課本第28頁感受理解3、5、6

   1、△ABC中,A(-6,0),B(6,0),求滿足下列條件的點(diǎn)C的軌跡方程。(1)BC、AB、AC成等差數(shù)列,且BC>AC_____________________;(2)AC、BC所在直線斜率乘積為-__________

試題詳情

   2、F1,F2兩個(gè)焦點(diǎn),過F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),AB=5,則AF1+BF1=____

試題詳情

   3、圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,PA的中點(diǎn)為M,則M的軌跡方程為______

試題詳情

   4、已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0),Q為+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程

試題詳情

   5、F1、F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),A、B分別是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn)。求證:以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓內(nèi)切

[答案]

試題詳情

1、(1)+=1,x<0,y≠0;(2)

試題詳情

2、11

試題詳情

3、x2+4y2=4

試題詳情

4、(2x-1)2+16y2=4

試題詳情

5、略

試題詳情

§2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(1)

試題詳情

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能:掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn),掌握幾何意義以及的相互關(guān)系,初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。

試題詳情

2、過程與方法:利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次,通過初步嘗試,使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程,不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用,更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng);以自主探究為主,通過體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。

試題詳情

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛,從中體味合作與成功的快樂,由此激發(fā)其更加積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和探索勇氣;通過觀察與思考,讓學(xué)生體會(huì)橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對稱美,培養(yǎng)學(xué)生的審美習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn):橢圓離心率與橢圓關(guān)系

教學(xué)過程:

試題詳情

一、問題情景

1、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

試題詳情

2、思想方法總結(jié):利用平面直角坐標(biāo)系,把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理。

建立曲線方程的目的就是要用代數(shù)的方法研究幾何問題,本課就是要根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程去研究橢圓的幾何性質(zhì)。

在以前的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)接觸到如何通過方程研究幾何問題,例如直線的平行與垂直,函數(shù)奇偶性中函數(shù)解析式的特征與圖象的對稱性的關(guān)系等等,請思考:

如何根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)?

試題詳情

二、建構(gòu)數(shù)學(xué):對于方程

1、范圍:由標(biāo)準(zhǔn)方程可知,橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式

試題詳情

橢圓位于直線所圍成的矩形里.

試題詳情

,

試題詳情

2、對稱性:  

從圖形上看:橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱。從方程上看: 

(1)把x換成-x方程不變,圖象關(guān)于y軸對稱;

(2)把y換成-y方程不變,圖象關(guān)于x軸對稱;

(3)把x換成-x,同時(shí)把y換成-y方程不變,圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。

試題詳情

3、頂點(diǎn):

試題詳情

令 x=0,得 y=?,說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)?(-a,0),(a,0)

試題詳情

令 y=0,得 x=?說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)?(0,-b), (0,b)

(1)頂點(diǎn):橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn),叫做橢圓的頂點(diǎn)。

試題詳情

(2)長軸、短軸:線段、線段分別叫橢圓的長軸和短軸,

它們的長分別等于2a和2b;

(3)a、b的幾何意義:a是長半軸的長,b是短半軸的長;

試題詳情

4、離心率:

試題詳情

橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率.

試題詳情

說明①因?yàn)?sub>所以

試題詳情

e越接近1,則c越接近a,從而越小,因此橢圓越扁;

反之,e越接近于0,c越接近于0,從而b越接近于a,這時(shí)橢圓就接近于圓;

③當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),c=0,這時(shí)兩焦點(diǎn)重合,圖形變?yōu)閳A.

[對于上述性質(zhì)要求學(xué)生熟練掌握,并能由此推出焦點(diǎn)在y軸的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)(要求學(xué)生自己歸納),并能根據(jù)橢圓方程得到相應(yīng)性質(zhì).]

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

教材32頁練習(xí)1,2,3

試題詳情

例1、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)連成正三角形,則長軸是短軸的多少倍?

試題詳情

解答:根據(jù)對稱性和頂點(diǎn)性質(zhì),一個(gè)焦點(diǎn)與短軸頂點(diǎn)的連線就是長半軸,原點(diǎn)、短軸的一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形,a=b

試題詳情

變形1:上題中,離心率為__________?(

試題詳情

變形2:橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角(或視角)為1200,離心率為____(

試題詳情

例2、求橢圓(a>b>0)上點(diǎn)到左焦點(diǎn)F距離的最值

試題詳情

解:[方法一]設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),則,PF2=(x+c)2+y2=x2+2cx+c2+b2(1-)=

試題詳情

x2+2cx+a2在-a≤x≤a上單調(diào)增,x=-a時(shí)PF2min=(c-a)2,x=a時(shí)PF2max=(a+c)2,∴PFmax=a+c,PFmin=a-c反應(yīng)在圖上正好為長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)

[方法二]設(shè)P(acosθ,bsinθ),PF2=(acosθ+c)2+(bsinθ)2=c2cos2θ+2ca.cosθ+a2是cosθ的單調(diào)增函數(shù),∴cosθ=-1時(shí),PF2min=(c-a)2, cosθ=1時(shí)PF2max=(a+c)2,∴PFmax=a+c,PFmin=a-c 反應(yīng)在圖上正好為長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)

    思考:到右焦點(diǎn)距離呢?

四、回顧總結(jié)

標(biāo)準(zhǔn)方程

試題詳情

試題詳情

圖象

 

 

范圍

 

 

對稱性

 

 

頂點(diǎn)

 

 

長軸、短軸

 

 

離心率

 

 

試題詳情

五、布置作業(yè)(A組題)課本第32頁感受理解1、3、4、5、8

   [補(bǔ)充習(xí)題]

試題詳情

1、(1)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,焦點(diǎn)到中心的距離為3,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________

試題詳情

(2)對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,短軸的一個(gè)短點(diǎn)為B,△BF1F2周長為4+2,∠BF1F2=300,則橢圓的方程為____________________

試題詳情

2、橢圓x2+ky2=1(0<k<1),k越接近___________時(shí),橢圓越扁

試題詳情

3、我國發(fā)射的神州5號(hào)載人飛船運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,近地點(diǎn)距離地球表面m千米,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地球表面n千米,地球的半徑為R,則該軌道的短軸長為_________

試題詳情

4、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與+=1有相同的離心率,則其方程的形式為__________

試題詳情

5、橢圓+=1的離心率為,則m=___________

試題詳情

6、已知橢圓對稱軸是坐標(biāo)軸,O為原點(diǎn),F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn),A為一個(gè)頂點(diǎn),若橢圓的長軸為6,∠OFA=,求橢圓的方程

試題詳情

7、橢圓過點(diǎn)(3,0),離心率為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

試題詳情

8、求橢圓(a>b>0)上到點(diǎn)B(0,b)距離的最值

試題詳情

[解答] 1、(1);(2);2、0;3、2

試題詳情

4、+=1;  5、3或; 6、;7、

8*、設(shè)P(x,y),當(dāng)P與B重合時(shí),PB取得最小值為0,另有

試題詳情

PB2=x2+(y-b)2=(1-)a2+y2-2by+b2=-y2-2by+a2+b2是y的二次函數(shù),-b≤y≤b,不考慮定義域情況下函數(shù)的對稱軸為y=;若≤b,當(dāng) y=時(shí)PB2max=;若>b,當(dāng) y=-b時(shí)PB2max=4b2

試題詳情

總之,PBmin=0,PBmax=

試題詳情

§2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(2)

教學(xué)目標(biāo):

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):離心率范圍的拼湊、左邊方法

教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入

試題詳情

三、體會(huì)從具體例子中抽象方法的過程

1、橢圓的性質(zhì)復(fù)習(xí)

試題詳情

2、練習(xí)教材P32練習(xí)題4,5

二、數(shù)學(xué)運(yùn)用

試題詳情

例1、設(shè)P是橢圓(a>b>0)不在長軸上的一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn),(1)什么情況下,P對F1及F2的張角最大,并求此時(shí)張角的余弦值;(2)若∠F1PF2=90°,求橢圓的率心率e的范圍

試題詳情

解:(1)設(shè)PF1=m,PF2=n,則m+n=2a,cos∠F1PF2===-1,而mn≤=a2,cos∠F1PF2-1,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a,即:P(0,±b)時(shí),∠F1PF2最大,此時(shí)cos∠F1PF2=-1

(2)設(shè)短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為B, ∠F1BF2≥900,∠F1BO≥450

試題詳情

 e≥,則離心率的范圍是≤e<1

    說明:以上方法的核心是拼湊定值,稱拼湊法

試題詳情

變形練習(xí):如果∠F1PF2=1200,求e的范圍(≤e<1)

試題詳情

   例2、設(shè)P是橢圓(a>b>0)非長軸上的一點(diǎn),A1、A2是橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn),(1)什么情況下,P對A1及A2的張角最大,并求此時(shí)張角的正切值;(2)若∠A1PA2=120°,求橢圓的率心率e的范圍

試題詳情

   解:(1)設(shè)P(x,y),不妨設(shè)y>0, 則,設(shè)∠A1PA2=θ,則∠A1+∠A2=1800-θ,

試題詳情

tan(∠A1+∠A2)=-tanθ=,而tanA1=,tanA2=,代入tanθ=-,x2=a2(1-),tanθ===-是的增函數(shù),當(dāng)y=b時(shí)最大。同理當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)時(shí),θ最大,此時(shí)tanθ=-

試題詳情

(2) ∠A1BA2≥1200, ∠A1BO≥600,≤e<1

說明:這一方法核心是通過坐標(biāo)計(jì)算得出的,稱坐標(biāo)法

試題詳情

練習(xí):例題中若存在PA1⊥PO,求離心率e的范圍(解答(,1))

四、作業(yè):P33----5,6,7,9,10

補(bǔ)充作業(yè)

試題詳情

三、小結(jié):本節(jié)主要介紹了一個(gè)離心率范圍的求法,兩個(gè)方法拼湊與坐標(biāo)法

1、過橢圓(a>b>0)的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為____________

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2、線段AB是橢圓(a>b>0)的長軸,將AB五等份,過四個(gè)分點(diǎn)分別作AB的垂線交橢圓上半部于P1,P2,P3,P4四個(gè)點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),則PF1+PF2+PF3+PF4=_____________

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3、過點(diǎn)(x0,y0)的任意直線與橢圓(a>b>0)有公共點(diǎn),則(x0,y0)應(yīng)該滿足關(guān)系式________________

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4、設(shè)P是橢圓(a>b>0)P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為600,求橢圓的率心率e的范圍

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5、設(shè)P是橢圓(a>b>0)非短軸上的一點(diǎn),B1、B2是橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn),若∠B1PB2=60°,求橢圓的率心率e的范圍

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[答案]1、;    2、4a;     3、;    4、≤e<1;  5、≤e<1

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                        2.2.2直線與橢圓

[教學(xué)目的]

[教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)]最值求法與差分法(本節(jié)是一個(gè)課件)

[教學(xué)流程]

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一、復(fù)習(xí):1、點(diǎn)A(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的距離是什么?

(d=,特別的兩平行線ax+by+Ci=0間距離為

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2、如何判斷直線與圓的位置關(guān)系?弦長如何確定?圓上點(diǎn)到直線距離最值呢?

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(通過方程組解的個(gè)數(shù)或圓心到直線的距離d來確定,弦長為2,最值通過數(shù)形結(jié)合為|r±d|)

提出問題:直線與橢圓關(guān)系如何?進(jìn)入主題――直線與橢圓

二、要點(diǎn)內(nèi)容

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例1、求橢圓+=1上點(diǎn)到直線l:x-y+7=0距離的最值,并求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

[分析思路一]與圓類似:將直線l平移,與橢圓相切時(shí),切點(diǎn)到直線距離即為兩距離

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解:[方法一]設(shè)與直線l平行的直線:y=x+c與橢圓+=1相切,代入橢圓方程得到:

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25x2+32cx+16c2-144=0,△=(32c)2-4×25×(16c2-144)=0,解得c=±5,它們與直線l的距離即為橢圓上點(diǎn)到直線距離的最值,dmax==6,此時(shí)代入可以求得點(diǎn)P2(,-),dmin==此時(shí)代入可以求得P1(-,)

說明:這一方法的核心是數(shù)形結(jié)合,稱直線平移法

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[分析思考二]能否通過直線上點(diǎn)的坐標(biāo)直接求距離呢?

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解:設(shè)P(4cosθ,3sinθ),它到直線l的距離d==

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==,其中sinφ=,cosφ=

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當(dāng)sin(φ-θ)=1時(shí),dmax==6,此時(shí)φ-θ=+2kπ,k∈Z,θ=--2kπ+φ,cosθ=sinφ=,sinθ=-cosφ=-,對應(yīng)點(diǎn)P2(,-);同理當(dāng)sin(φ-θ)=-1時(shí),dmin==,此時(shí)φ-θ=-+2kπ,k∈Z,θ=-2kπ+φ,cosθ=-sinφ=-,sinθ=cosφ=,對應(yīng)點(diǎn)P1(-,)

   說明:這一方法中,θ稱參數(shù),相應(yīng)方法稱參數(shù)法。

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   例2、已知橢圓+y2=1   (1)求過點(diǎn)P(, )且被P平分的弦的方程。(2)求斜率為2的平行弦的終點(diǎn)的軌跡方程

解:設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x12+2y12=2    x22+2y22=2兩式作差得到

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(x1-x2)(x1+x2)-2(y1-y2)(y1+y2)=0,∵x1≠x2∴(x1+x2)+2 (y1+y2)=0

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(1)由中點(diǎn)公式,x1+x2=1,y1+y2=1,而為直線的斜率k,∴1+2k=0,k=-,直線方程為y-=-(x-)即2x+4y-3=0,代入橢圓方程檢驗(yàn)有△>0,∴弦的方程為2x+4y-3=0(在橢圓內(nèi)x12+2y12<2)

說明:這一方法稱差分法或點(diǎn)差法,適用于中點(diǎn)――弦的有關(guān)問題,其步驟為:

S1:設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程,作差

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S2:根據(jù)=k, x1+x2=x0,y1+y2=x0

S3:得出相應(yīng)解,并檢驗(yàn),必要時(shí)加條件限制

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(2)設(shè)中點(diǎn)為(x,y),則x1+x2=2x,y1+y2=2y,=2,從而2x+2×2×2y=0即x+4y=0(x12+2y12<2)

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練習(xí):求過點(diǎn)(2,1)引直線與該橢圓交于B、C兩點(diǎn),求BC中點(diǎn)的軌跡方程(此時(shí)=,方程x2+2y2-2x-2y=0(x2+2y2<1))

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三、小結(jié):1、求橢圓上點(diǎn)到直線距離的最值常用方法有直線平移法和參數(shù)法

2、涉及中點(diǎn)――弦問題時(shí)常用差分法

四、作業(yè)

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1、橢圓+=1上一點(diǎn)P到直線l:3x-2y-16=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是____________

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2、點(diǎn)P(x,y)為曲線C:上任意一點(diǎn),θ∈,則的范圍是__________

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3、橢圓C:x2+2y2=4.(1)直線l:y=x+1被C截得的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為________________

(2)與l平行的直線被C截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程為_____________

(3)過點(diǎn)(1,1)作C的弦,其中點(diǎn)的方程為______________________________________

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4、在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)P,使P到直線l:x-y+4=0的距離最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

[答案]

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1、(-,)

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2、

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3、(1)(-,);   (2)x+2y=0(x2+2y2<4)     (3)x2+2y2-x-2y=0(x2+2y2<4)

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4、(-,)

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