湖南省長沙市一中2008-2009學(xué)年高三第六次月考
數(shù)學(xué)理科
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的
1.已知向量a、b的夾角為60°且|a|=2,|b|=3,則a2+a?b= ( A )
A. 7 B. C.10 D.49
2.下列命題中,m,n表示兩條不同的直線,、
、
表示三個不同的平面.
①若②若
,則
;③若
,則
;④若
.正確的命題是( C )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
3.已知映射f:A→B,其中A=B=R,對應(yīng)法則f:x→y=x2-2x+2.若對實數(shù)k∈B,在集合A中不存在原象,則k的取值范圍是 ( B )
A.k≤1
B.k<
4.函數(shù)f(x)=sin2x+在區(qū)間
上的最大值是
( C )
A.1 B. C.
D.1+
5.如圖S為正三角形ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC=AB,E、F分別為SC、AB中點,則異面直線EF與SA所成角為(C)
A.90º B.60º C.45º D.30º
6.某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有( D )
A.60種 B.70種 C.80種 D.120種
7.已知某正項等差數(shù)列,若存在常數(shù)
,使得
對一切
成立,則
的集合是 ( B )
A.
B.
C.
D.
8.已知長方形的四個頂點A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一質(zhì)點從AB的中點沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點
后,依次反射到CD、DA和AB上的點
(入射角等于反射角).設(shè)
的坐標(biāo)為
則tanθ的取值范圍是 (
C )
9.已知且
,
,當(dāng)
時均有
,則實數(shù)
的取值范圍是C
A. B.
C.
D.
10.設(shè)、
、
、
是半徑為
的球面上的四點,且滿足
,
,
,則
的最大值是 ( B )
A.
B.
C.
D.
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分。把答案填在對應(yīng)題號后的橫線上。
11.二項式的展開式中,常數(shù)項為第 7 項。
12某氣象臺預(yù)報每天天氣的準(zhǔn)確率為0.8,則在未來3天中,至少有2天預(yù)報準(zhǔn)確的概率是為 。0.896
13.已知是拋物線
的焦點,過
且斜率為
的直線交
于
兩點.設(shè)
,則
與
的比值等于 .3
14.已知變量、
滿足條件
,若目標(biāo)函數(shù)
(其中
),僅在(4,2)處取得最大值,則
的取值范圍是 _ a>1
15.設(shè)定義域為[x1,x2]的函數(shù)y=f(x)的圖象為C,圖象的兩個端點分別為A、B,點O為坐標(biāo)原點,點M是C上任意一點,向量=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),滿足x=λx1+(1-λ)x2(0<λ<1),又有向量=λ+(1-λ),現(xiàn)定義“函數(shù)y=f(x)在[x1,x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指||≤k恒成立,其中k>0,k為常數(shù)。根據(jù)上面的表述,給出下列結(jié)論:①A、B、N三點共線;②直線MN的方向向量可以為=(0,1);③“函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”.④“函數(shù)y=5x2在[0,1]上可在標(biāo)準(zhǔn)1下線性近似”; 其中所有正確結(jié)論的序號為_______________.1、2、3
三、解答題:本大題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
口袋中有大小、質(zhì)地均相同的8個球,4個紅球,4個黑球,現(xiàn)在中任取4個球.
(1)求取出的球顏色相同的概率;
(2)若取出的紅球數(shù)不少于黑球數(shù),則可獲得獎品,求獲得獎勵的概率.
16.解:(1)取出4個球都是紅球,;………………………………………(2分)
取出4個球都是黑球,;………………………………………………………(4分)
∴取出4球同色的概率為…………………………………………………(6分)
(2)取出4個紅球,;…………………………………………………………(7分)
取出3紅1黑,………………………………………………………………(9分)
取出2紅2黑,……………………………………………………………(11分)
∴獲獎概率為+
……………………………………………………(12分)
17.(本小題滿分12分) △ABC中,角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且滿足
(1)求角C;
(2)若△ABC的周長為2,求△ABC面積的最大值。
解:(1)
……………………4分
(2)由
……………………8分
故(舍)或
故當(dāng)………………12分
18.(本小題滿分12分)如圖1,在矩形中,
是
的中點,以
為折痕將
向上折起,使
為
,且平面
平面
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的正弦值.
解(Ⅰ)在中,
,
在中,
,
∵,
∴.……(2分)
∵平面
平面
,且交線為
,
∴平面
.……(4分)
∵平面
,
∴.……(5分)
(Ⅱ)設(shè)與
相交于點
,由(Ⅰ)知
,
∵,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
,且交線為
,
如圖2,作,垂足為
,則
平面
,
連結(jié),則
是直線
與平面
所成的角.……(8分)
由平面幾何的知識可知,∴
.……(9分)
在中,
,……(10分)
在中,
,可求得
.……(11分)
∴.……(12分)
∴直線與平面
所成的角的正弦值為
.
19. (本小題滿分13分) 一位救生員站在邊長為
/分,游泳的速度為
米/分.試問,救生員選擇在何處入水才能最快到達C處,所用的最短時間是多少?
解析:方法一: 設(shè)AE=x(米),所用時間,
.……(2分)
令
由y’=0,得,……(8分)
解得(“+”舍),……(10分)
所以時,所用時間最少.……(12分)
也即,救生員應(yīng)該在AB邊上距B點米處入水,才能最快到達C處,所用的最短時間為
.
方法二:設(shè),則
,所以,
等號當(dāng)且僅當(dāng),即
,即
時成立.
此時,,
.
20.(本小題滿分13分)如圖,點
為雙曲線
的左焦點,左準(zhǔn)線
交
軸于點
,點P是
上的一點,已知
,且線段PF的中點
在雙曲線
的左支上.
(Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過點的直線
與雙曲線
的左右
兩支分別交于、
兩點,設(shè)
,當(dāng)
時,求直線
的斜率
的取值范圍.
(Ⅰ)設(shè)所求雙曲線為:.其左焦點為F(-c。0);左準(zhǔn)線:
.…(1分)
由,得P(
,1);由
(3分)
FP的中點為.代入雙曲線方程:
……(5分)
根據(jù)(1)與(2).所求雙曲線方程為
.(6分)
(Ⅱ)如圖設(shè)A(x1,y1) ,B
(x2,y2).F(-2,0). 由,得:
又 ……(8分)
消元得,
……(10分)
由
,又
解得
,
……(11分)
得
所以直線的斜率
的取值范圍是
.……(11分)
21. (本小題滿分13分)已知數(shù)列滿足
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式
;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列
的前
項和
;
(Ⅲ)設(shè),數(shù)列
的前
項和為
.求證:對任意的
,
.
解:(Ⅰ),
,……(2分)
又,
數(shù)列
是首項為
,公比為
的等比數(shù)列.
,
即
. ……(4分)
(Ⅱ).
. ……(7分)
(Ⅲ),
. (9分)
當(dāng)時,則
……(10分)
.……(12分)
,
對任意的
,
. ……(13分)
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