北京市西城區(qū) 2009年抽樣測(cè)試

                        高三數(shù)學(xué)試卷（理科）                 2009.4     

                       

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時(shí)間120分鐘.

 

題號(hào)

 

分?jǐn)?shù)

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

 

                          第Ⅰ卷(共40分)

 

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1. 已知全集，集合，那么集合等于（      ）

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A.                           B.        

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C.                             D.

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2. 設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i，則等于（    ）

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A. i                            B.i     

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 C. i                            D. i

 

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3. 若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，則數(shù)列是（      ）

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A. 公差為2的等差數(shù)列                 B. 公差為的等差數(shù)列  

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C. 公比為2的等比數(shù)列                 D. 公比為的等比數(shù)列

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4. 設(shè)a為常數(shù)，函數(shù). 若為偶函數(shù)，則等于（     ）

A. -2                                 B.  2

C. -1                                 D.  1

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5. 已知直線a 和平面，那么的一個(gè)充分條件是（       ）

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A. 存在一條直線b，        B. 存在一條直線b，

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C. 存在一個(gè)平面       D. 存在一個(gè)平面      

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6. 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（      ）

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A.                  B.        

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C.                  D.

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7．設(shè) R，  且，，則 (      )

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A.                                  B.       

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C.                            D.

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8. 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù) . 設(shè)函數(shù)f (x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：

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1；        2；      3.

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則等于（     ）

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 A.                                     B.        

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 C.  1                                     D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

北京市西城區(qū) 2009年抽樣測(cè)試

試題詳情

                        高三數(shù)學(xué)試卷（理科）                 2009.4      

                                            

第Ⅱ卷( 共110分)

 

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二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .

9. 的值等于___________.

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10. 的展開式中的系數(shù)是___________；其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為________.(用數(shù)字作答)

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11. 不等式的解集為_____________.

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12. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量  . 將繞著點(diǎn)  按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標(biāo)為____________.

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13. 給出下列四個(gè)函數(shù)：

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① ；             ② ；

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  ③ ；              ④ .

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其中在上既無(wú)最大值又無(wú)最小值的函數(shù)是_________________.（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

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14. 已知函數(shù)由下表給出：

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0

1

2

3

4

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其中等于在中k所出現(xiàn)的次數(shù).

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則=______________；___________.

 

 

 

 

 

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三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分12分）

某個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組共有9名學(xué)生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學(xué)習(xí)過(guò)程中，要進(jìn)行兩次匯報(bào)活動(dòng)（即開題匯報(bào)和結(jié)題匯報(bào)），每次匯報(bào)都從這9名學(xué)生中隨機(jī)選1人作為代表發(fā)言. 設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.

（Ⅰ）求兩次匯報(bào)活動(dòng)都由小組成員甲發(fā)言的概率；

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（Ⅱ）設(shè)為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對(duì)值，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 

 

 

 

 

 

 

 

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16.（本小題滿分12分）

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為，|OB|=2, 設(shè).

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（Ⅰ）用表示點(diǎn)B的坐標(biāo)及；

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（Ⅱ）若，求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.（本小題滿分14分）

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又

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.

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（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大��；

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面PAD的距離.

 

 

 

 

 

 

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18.（本小題滿分14分）

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   設(shè)R，函數(shù).

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（Ⅰ）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；

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（Ⅱ）當(dāng)a<1時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19.（本小題滿分14分）

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   已知橢圓C ，過(guò)點(diǎn)M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

 （Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)N，且A是MN的中點(diǎn)，求直線l的方程；

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（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn), 且 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)). 求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

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20.（本小題滿分14分）

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設(shè)，對(duì)于有窮數(shù)列(), 令為中的最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”. 數(shù)列中不相等項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的“創(chuàng)新階數(shù)”. 例如數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7，創(chuàng)新階數(shù)為3.

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考察自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列.

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（Ⅰ）若m=5, 寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列；

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(Ⅱ) 是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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（Ⅲ）在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列中，求它們的首項(xiàng)的和.

 

 

 

 

試題詳情

                   高三數(shù)學(xué)試卷（理科）                 2009.4   

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

C

C

D

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

 

 

 

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9.      10. 10，243      11.    12.       13. 24    14.   

注：兩空的題目，第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.    -----------------------------1分     

由題意，得事件A的概率，              

即2次匯報(bào)活動(dòng)都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2,0,                           ----------------------------6分

每次匯報(bào)時(shí)，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

； ；

 所以，的分布列為：

2

0

P

---------------------------10分

的數(shù)學(xué)期望.                       ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由三角函數(shù)的定義，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.      ---------------------------1分

在中，|OB|=2，，

由正弦定理，得，即，

所以 .                               ---------------------------5分

注：僅寫出正弦定理，得3分. 若用直線AB方程求得也得分.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， ------------------7分

因?yàn)?sub>，

所以，                             ----------------------------9分

又

                        

，                                    ---------------------------11分

        所以.                      ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

 解：由（Ⅰ）知，

又，

平面，                                      ---------------------------5分

如圖，過(guò)C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

又

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

.      ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       ---------------------------9分

  方法二：

       解：如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點(diǎn)， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

       則,            ---------------------------5分

過(guò)C作于M，連接BM，設(shè)，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                         --------------------------9分

（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)B到平面PAD的距離為h，               

       ，，

       平面ABCD，，

       ，

       在直角梯形ABCD中，，

       .

       在中，，，

        ，

        ，

           的面積，                  ---------------------------10分

       三棱錐B-PAD的體積，

，                             ---------------------------12分

即，解得，

       點(diǎn)B到平面PAD的距離為.                          ---------------------------14分                       

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，                      ---------------------------1分

           .                                       ---------------------------4分

      因?yàn)?sub>，所以.                                ---------------------------5分

（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，

              所以，故在上是減函數(shù)；        ------------------------7分

         當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，

               當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，

               因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，

               所以在上是減函數(shù)；                  ---------------------------9分

      當(dāng)0<a<1時(shí)，由, 得x=，或x=. --------------------------10分

            x變化時(shí)，的變化如情況下表：

0

+

0

極小值

極大值

     

 

 

 

             

        所以在上為減函數(shù)、在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù).                                                ------------------------13分

 綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；

 當(dāng)0<a<1時(shí)，在上為減函數(shù)、在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù).                                      ------------------------14分

19.（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：設(shè)A(x1, y1)，

因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，

所以，                                            ---------------------------1分

又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1, y1)在橢圓C上

所以，即，解得，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，                       -------------------------3分

所以直線l的方程為或.  --------------------------5分

   （Ⅱ）解：設(shè)直線AB的方程為或，A(x1, y1)，B(x2, y2)，，

當(dāng)AB的方程為時(shí)，，與題意不符.        --------------------------6分

當(dāng)AB的方程為時(shí)：

    由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，

    消去y得，

    所以即，                    

    則，

                                                       ---------------------------8分

    因?yàn)?，

    所以，解得，

    所以.                                      --------------------------10分

因?yàn)?sub>，即，

    所以當(dāng)時(shí)，由，得，

上述方程無(wú)解，所以此時(shí)符合條件的直線不存在；      --------------------11分

當(dāng)時(shí)，，，

        因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

        所以，             -------------------------12分

        化簡(jiǎn)得，

        因?yàn)?sub>，所以，

        則.                            

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.             ---------------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的數(shù)列有兩個(gè)，即：

（1）數(shù)列3，4，1，5，2；                           ---------------------------2分

（2）數(shù)列3，4，2，5，1.                            ---------------------------3分

         注：寫出一個(gè)得2分，兩個(gè)寫全得3分.

（Ⅱ）答：存在數(shù)列，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.

解：設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，

因?yàn)?sub>為中的最大值.

所以.

由題意知：為中最大值，為中最大值，

     所以，且.                       

若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，且N，    -----------------5分

     當(dāng)d=0時(shí)，為常數(shù)列，又，

           所以數(shù)列為，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列；

      當(dāng)d=1時(shí)，因?yàn)?sub>


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