咸陽(yáng)市2009年高考模擬考試試題
理 科 數(shù) 學(xué)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁(yè)。第Ⅱ卷3至8頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么
V=
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
（k=0，1，2，…，n）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 定義集合運(yùn)算
，若
,
,則
=
A．M
B．N
C．
D．
2. 復(fù)數(shù) 
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所位于的象限是
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3．已知向量
,
,則
的值為
A． 
B． 
C．
D．
4．已知函數(shù)
的一段圖象如圖，則函數(shù)的解析式為
5．“等式
對(duì)
恒成立”是“函數(shù)
在
上為偶函數(shù)”的
充分不必要條件 
必要不充分條件 
充要條件
既不充分也不必要條件
6． 在
中，
分別是內(nèi)角
的對(duì)邊，如果 
,那么，三邊滿足的關(guān)系是
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 已知成等比數(shù)列，則函數(shù)
與
軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A. 0
B.
8．金太陽(yáng)藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的1種樂(lè)器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，現(xiàn)從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，不同的選法種數(shù)是
A．１０ B．１
9．設(shè)
、
為兩個(gè)不同的平面，
、
為兩條不同的直線，且
，
，有如下的兩個(gè)命題：①若
，則
；②若
，則
；那么
A． ①是真命題，②是假命題 B. ①是假命題，②是真命題
C． ①、②都是真命題 D. ①、②都是假命題
10． 如圖,雙曲線
，
為左焦點(diǎn)，
，當(dāng)
時(shí)，雙曲線被稱為“黃金雙曲線”。則其離心率
等于
A. 
B. 
C. 
D . 
11．若
滿足
則
的取值范圍為
12．兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位的排法如右圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是
A. 48,49 B. 62,63
C. 75,76 D. 84,85
第Ⅱ卷
二、 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.將答案填在題中的橫線上.
13． 若
，則
被9除所得的余數(shù)為 ．
14． 單位正方體
，過(guò)
、
、
、
四點(diǎn)的球的表面積為 .
15. 若函數(shù)
，點(diǎn)P（x，y）在曲線
上運(yùn)動(dòng)，作PM垂直x軸于M，則△POM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）周長(zhǎng)的最小值是___________．
16．已知
，則有：
，
，
．若設(shè)：
，類比上例則可得到
與
的關(guān)系式為________
____.(只須寫出一種即可)
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．(本小題滿分12分)
求
的值.
18．（本小題滿分12分）
在一次考試中共有12道選擇題，每道選擇題都有４個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得５分，不選或選錯(cuò)得０分”．某考生已確定有8道題答案是正確的，其余題中：有兩道只能分別判斷２個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道僅能判斷１個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，求：
（I）該考生得50分的概率；
（II）該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．
19．（本小題滿分12分）
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，PD⊥平面ABCD，PD＝6，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
（I）求證：MN⊥CD；
(II) 求二面角M－DN－C大�。�
20．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
與
，
(I)求
的單調(diào)區(qū)間；
（II）若
恰有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的值.
21．（本小題滿分12分）
已知在平面直角坐標(biāo)系
中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左準(zhǔn)線為
,離心率
,設(shè)點(diǎn)
.
(I) 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(II) 過(guò)原點(diǎn)
的直線交橢圓于點(diǎn)
，求面積的最大值.
22．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列｛
｝滿足
＝2，
．
（I）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)
，試推斷是否存在常數(shù)A，B，C，使對(duì)一切
都有
＝
成立？若存在，求出A，B，C的值，若不存在，說(shuō)明理由；
（III）求證：
．
咸陽(yáng)市2009年高考模擬考試試題(一)
一、選擇題：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
A
C
B
A
D
D
A/B
B
D
二、 填空題：
13． 8
14．（理）
（文）
15. 
16．
或 
或 
三、解答題： 答案僅供參考，其他解法參照給分
17．(本小題滿分12分)
（理） 解：
(文) 解：（1）由兩角和差公式及二倍角公式得
由
得
于是函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
-------------6分
（2）由（1）知
再由
得------------------------8分
--------------------10分
所以函數(shù)的值域?yàn)?sub>
-------------------------12分
18．（本小題滿分12分）
（理） 解：（1）該考生得50分的情況有三類;①在“兩道只能分別判斷２個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”時(shí)，該兩題竟然全選對(duì)后面兩道題全選錯(cuò)，其概率為
；②在“兩道只能分別判斷２個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”時(shí)，該兩題竟然全選錯(cuò)后面兩道題全選對(duì)，其概率為
；③在“兩道只能分別判斷２個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”時(shí)，該兩題只能選對(duì)一道后面兩道題也只能一錯(cuò)一對(duì)，其概率為
，從而有
…………………………………4分
（2）用
表示所得分?jǐn)?shù)，則可能的取值為40，45，50，55，60
∵
……………8分
∴的概率分布列為
40
45
50
55
60
P
…12分
（文） 解: (I)記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A，則
……………………… 4分
(II)記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件
由題意得
………………………6分
………………………8分
………………………10分
所以，
化簡(jiǎn)，得
解得
n=2，或
故n=2. ………………………12分
19．（本小題滿分12分）
證明: （I）連結(jié)PA．
∵ PD⊥平面ABCD， CD⊥AD，
∴ PA⊥CD（三垂線定理）．………………2分
∵ M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)，
∴ MN∥PA，
∴ MN⊥CD．………………………6分
（理）（II） 過(guò)點(diǎn)O作DN的垂線OE，垂足為E，連結(jié)ME．
∵ MO⊥平面ABCD，∴ ME⊥DN．
∴ ∠MEO就是二面角M－DN－C的平面角． ………………………9分
∵ △MOE中，∠MOE＝90°，MO＝3，OE＝
，
∴ 
．
故二面角M－DN－C的大小為
．………………………12分
（文）（II）設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O．
∵ MO∥PD，
∴ MO⊥底面ABCD，且MO＝
PD＝3．
………………………9分
∵ N是AB的中點(diǎn)，
∴ 
， ∴
，
∴ 
………………………12分
20．（本小題滿分12分）
（理） 解：（1）令
，
則
，---------------------------------------2分
由
得，
由
得，
---------------------------------4分
由
的定義域
知，
的單調(diào)遞增區(qū)間為
；遞減區(qū)間為
--------------------6分
（2） 令
,則函數(shù)
與
的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
與x軸正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn).對(duì)
求導(dǎo)數(shù),得----------8分
.
又∵x→0時(shí)，
＜0,x→+∞時(shí)，＞0------------------------------------------10分
有兩個(gè)不同正根的充要條件是
或
,解得m=7或m=
.---------------------------12分
也可由（1）知，函數(shù)在
處取得極值，若要恰有兩不同的根，則必有
或
，所以有m=7或m=
（文）解：（Ⅰ）
，
---------------2分
-----------------------------------4分
又
故所求
。----------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由
得，
，
由
得， 
，
故函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
單調(diào)遞減區(qū)間為
------8分
恒成立，
故函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間為
---------------10分
由得，
，
由得， 
，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
單調(diào)遞減區(qū)間為
----12分
21．（本小題滿分12分）
（理）解：(1)由已知設(shè)橢圓方程為
，
則
---------------2分
a=2, c=
, b=1.---------------------------------4分
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
----------------------------------------------6分
(2)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,
解得B(
,
),C(－,－),------------8分
則
,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=
,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
----------------------------10分
由
≥－1,得S△ABC≤
,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.
∴S△ABC的最大值是.
-------------------------------12分
（文）解:（Ⅰ）設(shè)
，由
知，點(diǎn)C的軌跡為
．
由
消y，得 
．
設(shè)
，
，則
，
．………………………4分
所以，
，
所以 
，
于是 
．………………………………………………………6分
（Ⅱ）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設(shè)此弦所在直線的方程為
．
由
消x，得
．
設(shè)
，
，則
，
．…………………8分
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P作拋物線的弦的長(zhǎng)度是原點(diǎn)到弦的中點(diǎn)距離的2倍，所以 
，
即
， ……………………10分
所以 
，得 
．
所以，存在．………………………………………………………12分
22．（本小題滿分14分）
（理 ）解:（I） 由已知，得 
，
即
， ………………………2分
所以數(shù)列｛
｝是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為
＝2，
故
＝
. ………………………４分
也可以用累積法
（II） 因?yàn)?sub>
＝
,
若＝恒成立，則
恒成立，所以
………………………６分
解出 A＝1，B＝－4，C＝6．
故存在常數(shù)A，B，C滿足條件. ………………………８分
（III）
＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn+1－bn)＝bn+1－b1
�。�
＝ 
………………………11分
＜ 
＝
＝ 
＝ 
≤ 
．………………………14分
別證：可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．
（文） 解:（Ⅰ）
，
. ---------------4分
（Ⅱ）∵
，且
∴
.-------------------------------8分
（Ⅲ）設(shè)第
個(gè)圖形的邊數(shù)為
∴
，且
, ∴
.
∵第個(gè)圖形的面積為
則
------------------------10分
=
=
∴
……
------------------------------------------12分
上述
個(gè)式子兩邊分別相加得：
]
∴
∴
-------------------------------------------------------------------14分
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