北京市西城區(qū) 2009年4月抽樣測試

                        高三數(shù)學試卷（文科）                 2009.4     

                       

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.

 

題號

 

分數(shù)

一

二

三

總分

15

16

17

18

19

20

 

                     

第Ⅰ卷(選擇題   共40分)

 

一、本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1. 已知集合，那么集合等于（  ）

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A.                          B.        

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C.                          D.

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2. 函數(shù)的最小正周期為（     ）

試題詳情

A.                                     B.

試題詳情

C.                                     D.

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3. 若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列是（  ）

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A. 公比為4的等比數(shù)列                     B. 公比為的等比數(shù)列 

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C. 公比為的等比數(shù)列                     D. 公比為的等比數(shù)列

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4. 由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有（     ）

A. 48 個                                     B. 72 個        

C. 96 個                                     D. 120 個

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5.設(shè)實數(shù)x, y滿足，則的最小值為（      ）

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A.                                     B.           

C.  5                                     D. 27

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6. 在平面直角坐標系中， A為平面內(nèi)一個動點，. 若（O為坐標原點），則動點A的軌跡是（    ）

   A. 橢圓             B.雙曲線            C.拋物線           D. 圓

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7．已知直線a 和平面，那么的一個充分條件是（  ）

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A. 存在一條直線b，           B. 存在一條直線b，

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C. 存在一個平面          D. 存在一個平面      

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8. 函數(shù)f (x)的定義域為D，若對于任意，當時，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù) .

設(shè)函數(shù)f (x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：

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1；        2；      3.

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則等于（     ）

試題詳情

A.                                     B.        

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 C.  1                                     D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

北京市西城區(qū) 2009年抽樣測試

試題詳情

                        高三數(shù)學試卷（文科）                 2009.4     

                                            

第Ⅱ卷( 共110分)

 

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二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .

9. 某單位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 為了調(diào)查他們的身體情況，用分層抽樣的方法從他們中抽取了n個人進行體檢，其中有6名老年人，那么n=_________.

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10. 的展開式中的系數(shù)是___________.(用數(shù)字作答)

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11. 設(shè)a為常數(shù)，.若函數(shù)為偶函數(shù)，則=__________；=_______.

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12. 設(shè)O為坐標原點，向量 .將繞著點  按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標為____________.

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13. 已知一個正方體的八個頂點都在同一個球面上. 設(shè)此正方體的表面積為，球的表面積，則=_____________.

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14．如圖，從雙曲線的左焦點F1引圓的切線，切點為T，延長F1T交雙曲線右支于P點. 設(shè)M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則=_____________；=__________.

 

 

 

 

 

 

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三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分12分）

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設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）求的值.

                                                                                                                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16.（本小題滿分12分）

某個高中研究性學習小組共有9名學生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學習過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學生中隨機選1人作為代表發(fā)言. 設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.

（Ⅰ）求兩次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率；

（Ⅱ）求男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率.

 

 

 

 

 

 

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17.（本小題滿分14分）

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又

試題詳情

.

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(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求PA與平面ABCD所成角的大�。�

(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.（本小題滿分14分）

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設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且（c是常數(shù)，N*），.

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（Ⅰ）求c的值及的通項公式；

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（Ⅱ）證明：.

 

 

 

 

 

 

 

 

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19.（本小題滿分14分）

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已知橢圓C，過點M(0, 1)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B.

（Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；

試題詳情

 （Ⅱ）設(shè)點，求的最大值.

 

 

 

 

 

 

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20.（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)R).

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（Ⅰ）若a=1，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由；

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（Ⅱ）若函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

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（Ⅲ）設(shè)為方程的三個根，且，，,求證：.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

                   高三數(shù)學試卷（文科）                 2009.4   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

 

 

 

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 36         10. 10        11. 2, 8      12.      13.        14. 5, 2     

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理，                       ----------------------------3分

得.                                 ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角為銳角，所以，          ----------------------------7分

則     --------------------------10分

                          

   .

        所以.                             ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.   -----------------------------1分     

由題意，得事件A的概率，              

即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

                                                               ----------------------------6分

      記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，

由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：

1事件B1：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為

，             ----------------------------8分

2事件B2：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為

，           ----------------------------10分

所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.

   ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

     為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA與平面ABCD所成角的大小為.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內(nèi)的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，

       為PA與平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

         則, ，                    

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA與平面ABCD所成角的大小為.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）過C作于M，連接BM，設(shè)，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                        --------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：因為，

      所以當時，，解得，           ---------------------------2分

          當時，，即，解得，

      所以，解得；                                 ---------------------------5分

則，數(shù)列的公差，

所以.                            ---------------------------8分

（Ⅱ）因為

                     ---------------------------9分

        ---------------------------12分

.                       

因為，

所以 .                          -------------------------14分

        注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應(yīng)評分.

19.（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）解：設(shè)A(x1, y1)，

因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，

所以，解得，                              -------------------------1分

又因為點A(x1, y1)在橢圓C上，

所以，即，解得，

 則點A的坐標為或，                      -------------------------3分

所以直線l的方程為，或.    -------------------------5分

   （Ⅱ）設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則

所以，

         則，                   -------------------------7分

         當直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；

-------------------------8分

當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，

   由題設(shè)可得A、B的坐標是方程組的解，

   消去y得，

   所以，       -------------------------10分

   則，

   所以，

   當時，等號成立, 即此時取得最大值1.    -------------------------13分

綜上，當直線AB的方程為或時，有最大值1.  -------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：當時，，

因為，

所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.          ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由題意，得，

令，解得或，                     --------------------------4分

當時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；

當時，由，與題意不符，舍去；     --------------------------6分

當時，由，解得，

所以在上是增函數(shù)，

又在(0，2)上是增函數(shù)，

              所以，解得，

綜上，a的取值范圍為.                            ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因為方程最多只有3個根，

      由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，

      所以，           1

同理，           2       --------------------------11分

當時，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因為，所以，即；

當時，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因為，所以，即；

當時，因為，所以有一根0，這與題意不符.

綜上，.                                          ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請相應(yīng)評分.

       

     

 

 


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