海南省海南中學2009屆高三第六次月考
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數學(理科)試題學科網
時間：120分鐘 滿分：150分學科網
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第Ⅰ卷學科網
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，
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只有一項是符合題目要求的）
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1．設m,n是整數，則“m,n均為偶數”是“m+n是偶數”的（ ）學科網
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 學科網
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件學科網
2．設有直線m、n和平面
、
,下列四個命題中，正確的是( )
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A．若m∥,n∥,則m∥n B. 若m
,n,m∥,n∥,則∥學科網
C．若
，m,則m D．若，m，m
,則m∥ 學科網
3．若實數
滿足
則
的最小值是（ ）學科網
A．0 B．
D．9學科網
4．已知
上是單調增函數，則a的最大值是（ ）學科網
A．0 B．學科網
5．已知雙曲線
（a＞0,b＞0）的一條漸近線為
(k＞0),學科網
離心率
,則雙曲線方程為（
）學科網
A ． 
－
=1
B． 
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C． 
D． 
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6．定義行列式運算
=
.
將函數
的圖象向左學科網
平移
（
）個單位,所得圖象對應的函數為偶函數，則的最小值為 ( ) 學科網
A．
B．
C．
D．
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7．長方體ABCD－A1B,
AA1=1,學科網
則頂點A、B間的球面距離是（ ）學科網
A.．2
B.． C
．
D．
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8.若定義在R上的函數
滿足：對任意
，
有
(
)
,學科網
則下列說法一定正確的是（ ）學科網
A ．為奇函數 B ． 為偶函數學科網
C ． 
為奇函數 D ． 為偶函數 學科網
9．一個正方體的展開圖如圖所示，
為原正方體的頂點，
為原正方體一條棱的中點。在原來的正方體中，
與
所成角的余弦值為(
) 學科網
A．
B．
C．
D．
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10．若直線
和⊙
:
沒有交點,則過點（
的直線學科網
與橢圓
的交點個數為（ �。�學科網
A．至多一個
B．.2個 C．1個 D．0個學科網
11．如圖，在正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC的中點，EF⊥DE，學科網
且BC=1，則正
三棱錐A-BCD的體積是（ ）學科網
A．
B．
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C．
D．
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12．已知拋物線
的焦點為
，準線與
軸的交點為
，點學科網
在
上且
，則
的面積為( )學科網
Ａ ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
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第Ⅱ卷學科網
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）
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13．如圖，
到
的距離分別是
和
，學科網
與
所成的角分別是
和
，在內的射影分別是
和
，若
，學科網
則與
的大小關系及m與n的大小關系分別為
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14．已知向量
，
，學科網
且
，則
= _____學科網
15．已知函數
(x)=
,等差數列{ax}的公差為2，若
(a2+a4+a6+a8+a10)=,則學科網
log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)?…?f(a10)]=
.學科網
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16．某校數學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：學科網
第
棵樹種植在點
處，其中
，
，當
時，學科網
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表示非負實數的整數部分，例如
，
．學科網
按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為
；第2008棵樹種植點的學科網
坐標應為 ． 學科網
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，學科網
請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內）學科網
17.（本小題12分）已知
中內角
的對邊分別為
，且
，學科網
向量
,
且∥學科網
（Ⅰ）求銳角的大小，學科網
（Ⅱ）求的面積
的取值范圍.學科網
18.（本小題12分）學科網
如圖，在三棱錐
中，
，
，
，
．學科網
（Ⅰ）求證：
；學科網
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；學科網
（Ⅲ）求點到平面
的距離．學科網
19.（本小題12分）在數列
中，
，
.學科網
（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）令
，求數列
的前項和
.學科網
（Ⅲ）求數列的前項和
.學科網
20. (本小題12分)學科網
水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為學科網
V（t）=
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（Ⅰ）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,問一年內哪幾個月份是枯水期？（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.學科網
21．（本小題12分）學科網
已知菱形
的頂點
在橢圓
上，對角線
所在直線的斜率為1．學科網
（Ⅰ）當直線過點
時，求直線
的方程；學科網
（Ⅱ）當
時，求菱形面積的最大值．學科網
請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。學科網
22．（本小題10分）選修4－1：幾何證明選講學科網
從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，結BE交CD于F。求證：BE平分CD.學科網
23．（本小題10分）選修4－4：坐標系與參數方程學科網
已知曲線C1：
，曲線C2：
.學科網
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數；學科網
（Ⅱ）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線
，
。寫出，的參數方程。與公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由.學科網
24．（本小題10分）選修4－5：不等式選講學科網
已知函數
.學科網
（Ⅰ）作出函數
的圖像；（Ⅱ）解不等式
.學科網
一、選擇題:1-5 :A D B D C 6-10: C C C
D B 11-12: B B
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二、填空題: 13, 
14. 3 15.
16. （1，2），（3，402）學科網
三、解答題
三、解答題（本大題共6小題，共70分）
17．（12分）
解：（1）
∥
2分
4分
又
為銳角 
6分
（Ⅱ）
由 
得 
又
代入上式得：
（當且僅當
時等號成立。） 9分
（當且僅當時等號成立。） 11分
的面積的取值范圍為.
12分
18．（12分）
解法一：
（Ⅰ）取
中點
，連結
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中點
．連結
．
，
．
是
在平面內的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．二面角的余弦值為
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
過
作
，垂足為
．
平面
平面
，
平面
．
的長即為點到平面的距離．
由（Ⅰ）知
，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
點到平面的距離為
．
解法二：
（Ⅰ），，．
又，．
，平面．
平面，．
（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系
．
則
．設
．
，
，
．
取中點，連結．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．二面角的余弦值為．
（Ⅲ）
，
在平面內的射影為正
的中心，且
的長為點到平面的距離．
如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．
，點的坐標為
．
．點到平面的距離為．
19.（12分）
解：（Ⅰ）由條件得
，又
時，
，
故數列
構成首項為1，公式為
的等比數列．從而
，即
．
（Ⅱ）由
得
，
，
兩式相減得 ： 
，
所以 
．
（Ⅲ）由
得
所以
．
20.（12分）
解：（Ⅰ）①當0＜t
10時，V(t)=(－t2+14t－40)
化簡得t2－14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②當10＜t12時，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,
化簡得（t－10）（3t－41）＜0,
解得10＜t＜
，又10＜t12,故 10＜t12.
綜合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期為1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6個月.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).
當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
－
V(t)
極大值
由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2+50－108.32(億立方米).
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
21.（12分）
解：（Ⅰ）由題意得直線
的方程為
．
因為四邊形
為菱形，所以
．
于是可設直線
的方程為
．
由
得
．
因為
在橢圓上，
所以
，解得
．
設兩點坐標分別為
，
則
，
，
，
．
所以
．
所以的中點坐標為
．
由四邊形為菱形可知，點在直線上，
所以
，解得
．
所以直線的方程為
，即
．
（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且
，
所以
．
所以菱形的面積
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以當
時，菱形的面積取得最大值
．
22.（10分）解：從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，連結BE交CD于F。求證：BE平分CD.
【分析1】構造兩個全等△.
連結ED、AC、AF。
CF=DF←△ACF≌△EDF←
←
←∠PAB=∠AEB=∠PFB
【分析2】利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB.
←∠PFB=∠POB←
←
23.（10分）解：（Ⅰ）
是圓，
是直線．
的普通方程為
，圓心
，半徑
．
的普通方程為
．
因為圓心到直線的距離為
，所以與只有一個公共點．
（Ⅱ）壓縮后的參數方程分別為
：
（
為參數）； 
：
（t為參數）．
化為普通方程為：：
，：
，
聯立消元得
，其判別式
，
所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數相同．
24.（10分）解：
（Ⅰ）
圖像如下：
（Ⅱ）不等式
同步練習冊答案
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