2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導(dǎo)十七

難點17  三角形中的三角函數(shù)式

三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.

●難點磁場

(★★★★★)已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.

●案例探究

［例1］在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。

(1)求船的航行速度是每小時多少千米；

(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？

命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.

知識依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準方位角，合理利用邊角關(guān)系.

錯解分析：考生對方位角識別不準，計算易出錯.

技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運用正弦定理來解決問題.

解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=

sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB?cos30°－cosACB?sin30°.

在△ACD中，據(jù)正弦定理得，

∴

答：此時船距島A為千米.

［例2］已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B，設(shè)x=cos，f(x)=cosB().

(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；

(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；

(3)求這個函數(shù)的值域.

命題意圖：本題主要考查考生運用三角知識解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎(chǔ)知識的靈活運用的程度和考生的運算能力，屬★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.

錯解分析：考生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運用是難點，并且不易想到運用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.

技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意||的范圍.

解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1

又4x²－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］.

(2)設(shè)x₁＜x₂，∴f(x₂)－f(x₁)=

=，若x₁，x₂∈()，則4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0

即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，則4x₁²－3＞0.

4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.

即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù).

(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

(1)運用方程觀點結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；

(2)熟練地進行邊角和已知關(guān)系式的等價轉(zhuǎn)化；

(3)能熟練運用三角形基礎(chǔ)知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

解法一：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°.

設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，

依題設(shè)條件有

整理得4cos²α+2cosα－3=0(M)

(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，

∴2cosα－=0.從而得cos.

解法二：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°

                                                              ①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC                                                              ②，

利用和差化積及積化和差公式，②式可化為

                                          ③， 

將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：

                                                                             ④

將cos(A－C)=2cos²()－1代入 ④：4cos²()+2cos－3=0，(*)，

殲滅難點訓練

一、1.解析：其中(3）(4）正確.

答案： B

二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

答案：

3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.

∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=.

∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=.故cosB=.

即sin(A+C)=，cos(A+C)=－.

∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，

∴cos2(B+C)=2cos²(B+C)－1=.

答案：

三、4.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：

S=S_△ABD+S_△CDB=?AB?ADsinA+?BC?CD?sinC

∵A+C=180°，∴sinA=sinC

故S=(AB?AD+BC?CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA

由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²－2AB?AD?cosA=20－16cosA

在△CDB中，BD²=CB²+CD²－2CB?CD?cosC=52－48cosC

∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，

∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8.

5.解：R=rcosθ，由此得：，

7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b²=3ac

∴sin²B=3sinC?sinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］

∵B=π－(A+C).∴sin²(A+C)=－［cos(A+C)－cos］

即1－cos²(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－.

∵0＜A+C＜π，∴A+C=π.又A－C=∴A=π，B=，C=.

8.解：按題意，設(shè)折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，

∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?

由正弦定理知：.∴BP=

在△PBD中，,

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當60°+2θ=90°，即θ=15°時，

sin(60°+2θ)=1，此時x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3.