2009 年 湖 南 省 六 校 聯(lián) 考

湖南師大附中 長沙市一中 常德市一中 株洲市二中 湘潭市一中

數(shù)學試題(理科)

 

時量:120分鐘   滿分:150分

 

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.集合              (    )

       A.M                       B.N                       C.{0,1,2}          D.{1}

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2.復數(shù)(a為實數(shù))在復平面上對應的點位于第一象限,則a的取值范圍是(    )

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       A.          B.          C.          D.

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3.在等差數(shù)列中,則此數(shù)列前的20項之和等于

                                                                                                                              (    )

       A.50                      B.60                      C.70                      D.80

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4.若動直線與函數(shù)的圖象分別交于M、N兩點,則|MN|的最大值為                                  (    )

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       A.                                                   B.1

       C.2                                                        D.3

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5.設雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點相同,離心率為2,則此雙曲線的方程為                                                     (    )

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6.如圖,在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=30°,AD

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是邊BC上的高,則的值等于(    )

A.0                        B.12                      C.24                      D.―12

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7.已知等比數(shù)列的公比為q,且有,則首項x1的取值范圍是(    )

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A.                                  B.

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C.                                       D.

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8.定義域和值域均為(常數(shù)a>0)的函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列四個命題

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       ②方程有且僅有三個解;    

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       ③方程有且僅有九個解;

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       ④方程有且僅有一個解;

那么,其中正確命題的個數(shù)是                                                                          (    )

A.1                        B.2                        C.3                        D.4

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二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,共35分.將答案填在題中橫線上.

9. 一名高三學生希望報名參加某6所高校的3所學校的自主招生考試,由于其中兩所學校的考試時間相同,因此,該學生不能同時報考這兩所學校,則該學生不同的報名方法種數(shù)是            (用數(shù)字作答)

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10.若,且a=669b,則n=            .

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11.頂點在坐標原點,焦點在直線上的拋物線的標準方程是            .

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12.已知

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+與0的大小關系為            .

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13.已知函數(shù)在區(qū)間[―1,2]上是減函數(shù),則b+c的最大值是            .

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14.兩個腰長為1的等腰Rt△ABC1和等腰Rt△ABC2所在平面成60°的二面角,則兩點C1和C2之間的距離有           種不同的值,其中一個距離為               .

 

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15.定義:已知兩數(shù)a,b,按規(guī)則得到一個數(shù)c,使稱c為“湘數(shù)”,現(xiàn)有數(shù)1和4,①按上述規(guī)則操作三次后得到的最大“湘數(shù)”為61;②2010不是“湘數(shù)”;③c-1總能被2整除;④c-1總能被10整除,其中正確的說法是           .(寫出所有滿足要求的序號).

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三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C的對邊分別是a、b、c,已知

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(1)試判斷△ABC的形狀;

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(2)若的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.(本小題滿分12分)

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       甲、乙兩個奧運會舉辦城市之間有7條網(wǎng)線并聯(lián),這7條網(wǎng)線能通過的信息量分別為1,1,2,2,2,3,3(信息流量單位),現(xiàn)從中任選三條網(wǎng)線,設可通過的信息量為。若可通 過的信息量≥6,則可保證信息通暢。

   (1)求線路信息通暢的概率;

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   (2)求線路可通過的信息量的分布列和數(shù)學期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.(本小題滿分12分)

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       如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點,ABD和BCD均為等邊三角形,AB=2,

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       AC=

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   (2)求二面角A―BC―D的大��;

   (3)求O點到平面ACD的距離。

 

 

 

 

 

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19.(本小題滿分13分)

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       為了綠化某一塊荒地,3月份某單位決定在如圖的每一點)處植一棵樹,其中a>1,i>1,2,…),規(guī)定

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   (1)在由這些樹連接而成的折線P0P1P2…Pn與坐標軸及直線lx=Sn(n=1,2…)圍成的區(qū)域中種植綠草,設草坪面積為An,求AnAn

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20.(本小題滿分13分)

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橢圓C的中心為原點O,短軸端點分別為B1、B2,右焦點為,若 為正三角形.

(1)求橢圓C的標準方程;

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(2)過橢圓C內(nèi)一點作直線l交橢圓C于M、N兩點,求線段MN的中點P的軌跡方程;

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(3)在(2)的條件下,求面積的最大值.

 

 

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21.(本小題滿分13分)

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已知定義在上的兩個函數(shù)的圖象在點處的切線傾斜角的大小為

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(1)求的解析式;

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(2)試求實數(shù)k的最大值,使得對任意恒成立;

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(3)若,

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求證:

 

 

 

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一、

DACCA  BDB

二、

9.16    10.2009      11.      12.     

13.    14.3        15.②③

三、

16.解:(1)由余弦定理得:

是以角C為直角的直角三角形.……………………6分

(2)

………………①

………………②

②÷①得,

……………………12分

17.解:(1)因為……………………………………(2分)

       ……………………………………………………(4分)

      

所以線路信息通暢的概率為。………………………(6分)

   (2)的所有可能取值為4,5,6,7,8。

      

       ……………………………………………………………(9分)

       ∴的分布列為

4

5

6

7

8

P

       …………………………………………………………………………………………(10分)

∴E=4×+5×+6×+7×+8×=6�!�12分)

18.解:解法一:(1)證明:連結OC,

ABD為等邊三角形,O為BD的中點,∴AO

垂直BD。………………………………………………………………(1分)

       ∴ AO=CO=�!�2分)

       在AOC中,AC=,∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=900,即AO⊥OC。

       ∴BDOC=O,∴AO⊥平面BCD�!�3分)

   (2)過O作OE垂直BC于E,連結AE,

    ∵AO⊥平面BCD,∴AE在平面BCD上的射影為OE。

    ∴AE⊥BC。

    ∠AEO為二面角A―BC―D的平面角�!�7分)

       在RtAEO中,AO=,OE=

       ∴∠AEO=arctan2。

       二面角A―BC―D的大小為arctan2。

       (3)設點O到面ACD的距離為∵VO-ACD=VA-OCD,

       在ACD中,AD=CD=2,AC=,

。

       ∴點O到平面ACD的距離為�!�12分)

解法二:(1)同解法一。

       (2)以O為原點,如圖建立空間直角坐標系,

       則O(0,0,0),A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0)

       ∵AO⊥平面DCD,

       ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…………………………………………(5分)

           ,

           由。設夾角為,

           則。

           ∴二面角A―BC―D的大小為arccos�!�8分)

       (3)解:設平面ACD的法向量為

    。………………………………(11分)

    夾角為,則

    設O到平面ACD的距離為,

    ,

    ∴O到平面ACD的距離為。……………………………………………………(12分)19.解:(1).

    …共線,該直線過點P1(a,a),

    斜率為……………………3分

    時,An是一個三角形與一個梯形面積之和(如上圖所示),梯形面積是

    于是

    …………………………7分

    (2)結合圖象,當

    ,……………………10分

    而當

    ,

    故當1<a>2時,存在正整數(shù)n,使得……………………13分

    20.解:(1)

    設橢圓C的標準方程為

    為正三角形,

    a=2b,結合

    ∴所求為……………………2分

    (2)設P(x,y)M(),N(),

    直線l的方程為得,

    ……………………4分

    ………………6分

    且滿足上述方程,

    ………………7分

    (3)由(2)得, 

    …………………………9分

    ……………………10分

    面積的最大值為…………………………13分

    21.解:(1)由

    即可求得……………………3分

    (2)當>0,

    不等式…(5分)

     

    由于

    ……………………7分

    ,

    于是由;………………9分

    (3)由(2)知,

    在上式中分別令x=再三式作和即得

    所以有……………………13分

     

     


    同步練習冊答案
    闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹