2007年高考數(shù)學(xué)解讀
(一)命題指導(dǎo)思想
1.命題應(yīng)依據(jù)教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》和《2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱》(待發(fā)),并結(jié)合我省普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)和特點(diǎn)。
2.命題注重考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力,體現(xiàn)知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等目標(biāo)要求。
3.命題既要實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡,又要體現(xiàn)新課程理念。
4.注重試題的創(chuàng)新性、多樣性和選擇性,具有一定的探究性和開放性。
5.命題要堅(jiān)持公正、公平原則。試題要切合我省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際,數(shù)學(xué)問題的難度、問題的情景等要符合考生的實(shí)際水平。應(yīng)用題要“貼近生活,背景公平,控制難度”。
6.命題要注意必修內(nèi)容和選修內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系與適當(dāng)差異,注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系。
7.試卷要有較高的信度、效度和必要的區(qū)分度以及適當(dāng)?shù)碾y度,難度系數(shù)控制在0.55―0.65之內(nèi)。
(二)知識和能力要求
1.知識要求
對知識的要求由低到高分為三個(gè)層次,依次是感知和了解、理解和掌握、靈活和綜合運(yùn)用,且高一級的層次要求包括低一級的層次要求。
(1)感知和了解:要求對所學(xué)知識的含義有初步的了解和感性的認(rèn)識,知道這一知識內(nèi)容是什么,并能在有關(guān)的問題中識別、模仿、描述它。
(2)理解和掌握:要求對所學(xué)知識內(nèi)容有較為深刻的理論認(rèn)識,能夠準(zhǔn)確地刻畫或解釋、舉例說明、簡單變形、推導(dǎo)或證明、抽象歸納,并能利用相關(guān)知識解決有關(guān)問題。
(3)靈活和綜合運(yùn)用:要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系,能靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決較為復(fù)雜的或綜合性的數(shù)學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)問題。
2.能力要求
能力主要指運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力以及實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識。
(1)運(yùn)算求解能力:會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形;能根據(jù)問題的條件,尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑。
(2)數(shù)據(jù)處理能力:會收集、整理、分析數(shù)據(jù),能抽取對研究問題有用的信息,并作出正確的判斷;能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。
(3)空間想象能力:會畫簡單的幾何圖形;能準(zhǔn)確地分析圖形中有關(guān)量的相互關(guān)系;會運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)。
(4)抽象概括能力:能從具體、生動的實(shí)例中,發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì);能從給定的大量信息材料中,概括出一些結(jié)論,并能應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷。
(5)推理論證能力:會根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性。
(6)實(shí)踐能力:能夠?qū)栴}所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類,將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型;能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題,并能用數(shù)學(xué)語言正確地表述、說明。
(7)創(chuàng)新意識:能夠獨(dú)立思考,靈活和綜合地運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)的知識、思想和方法,提出問題、分析問題和解決問題。
(三)考試范圍及要求
1.考試范圍
(1)文科
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中的必修課程內(nèi)容和選修系列1內(nèi)容。
數(shù)學(xué)1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))。
數(shù)學(xué)2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。
數(shù)學(xué)3:算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。
數(shù)學(xué)4:基本初等函數(shù)II(三角函數(shù))、平面上的向量、三角恒等變換。
數(shù)學(xué)5:解三角形、數(shù)列、不等式。
選修1-1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。
選修1-2:統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的引入、框圖。
(2)理科
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中的必修課程內(nèi)容和選修系列2內(nèi)容。
數(shù)學(xué)1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))。
數(shù)學(xué)2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。
數(shù)學(xué)3:算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。
數(shù)學(xué)4:基本初等函數(shù)II(三角函數(shù))、平面上的向量、三角恒等變換。
數(shù)學(xué)5:解三角形、數(shù)列、不等式。
選修2-1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量(簡稱空間向量)與立體幾何。
選修2-2:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入。
選修2-3:計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)案例、概率。
2.具體考試內(nèi)容及其要求(略)
(四)考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
1.考試形式
考試采用閉卷、筆試形式。試卷滿分為150分,考試時(shí)間為120分鐘?荚嚥辉试S使用計(jì)算器。
2.試卷結(jié)構(gòu)
試卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。試題分選擇題、填空題和解答題三種題型。
第Ⅰ卷以單項(xiàng)選擇題題型呈現(xiàn),主要考查必修內(nèi)容中的基本知識和基本技能,共12題,分值為60分。
第Ⅱ卷以填空題和解答題題型出現(xiàn),主要考查數(shù)學(xué)的思想、方法和能力,必修內(nèi)容和選修內(nèi)容都在考查之列。填空題只要求直接填寫結(jié)果,不必寫出計(jì)算過程或推證過程,填空題共4題,分值為16分。解答題包括計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題等,解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程,解答題共6題,分值為74分。
試卷包括容易題、中等難度題和難題,以中等難度題為主。
(五)題型示例
1.選擇題
(1)設(shè)、為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合,定義集合,則中元素的個(gè)數(shù)是
A.9 B.8 C.7 D.6
本小題主要考查集合概念的理解,以及對知識的遷移能力,對基本知識的掌握要準(zhǔn)確、牢固.
解答:B
(2)某初級中學(xué)有學(xué)生270人,其中一年級108人,二、三年級各81人,現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查,考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí),將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,…,270;使用系統(tǒng)抽樣時(shí),將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號1,2,…,270,并將整個(gè)編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況:
(3)已知向量,向量,則的最大值是
A. B.4 C.12 D.1
本小題主要考查向量與三角結(jié)合的基本運(yùn)算,考察運(yùn)算能力。試題給出兩個(gè)向量的坐標(biāo),要求考生會利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)的恒等變換,用多種方法確定向量的模的最大值.考察的重點(diǎn)是學(xué)生對向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的模的性質(zhì)的理解與應(yīng)用,方法較多,考查較靈活.
解法1:∵,,
解法2: ∵
∴
∴,
∴.
4.在這四個(gè)函數(shù)中,當(dāng)時(shí),使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是
A.0 B.1 C.2 D.3
本小題主要考查函數(shù)的凹凸性,試題給出了四個(gè)基本初等函數(shù),要求考生根據(jù)函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)---凹凸性,對試題中的不等關(guān)系式:,既可以利用函數(shù)的圖像直觀的認(rèn)識,也可以通過代數(shù)式的不等關(guān)系來理解。考查的重點(diǎn)是結(jié)合函數(shù)的圖像準(zhǔn)確理解凹凸的含義.
解答:B
2.填空題
(1)已知實(shí)數(shù)滿足等式,寫出滿足條件的一個(gè)關(guān)系式 .(注:填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可,不必考慮所有可能的情形)
本小題主要考查指數(shù)式、指對互化以及分類討論數(shù)學(xué)思想方法.此題是一個(gè)開放性問題,該類問題有助于考察學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造意識.
解答:①②③,等.
(2)求滿足的最大整數(shù)解的程序框圖A處應(yīng)為
.
本小題主要考查程序框圖的知識和分析問題、解決問題的邏輯思維能力,試題給出了滿足題目條件的框圖,在給定框圖結(jié)構(gòu)的前提條件下,要求考生會讀框圖、理解框圖,并根據(jù)流程,寫出最后輸出框中的內(nèi)容.考查的重點(diǎn)是學(xué)生對程序框圖的認(rèn)識,利用框圖流程,不難寫出最后的輸出結(jié)果.該題所涉及內(nèi)容為新課程新增內(nèi)容,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程與時(shí)俱進(jìn),反映了計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的影響,關(guān)注此類問題既考察學(xué)生對算法思想的了解和掌握,同時(shí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)技術(shù)的興趣.
解答:
(3)已知兩個(gè)圓:①與②,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程,將上述命題在曲線仍為圓和的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為 .
本小題主要考查圓的方程、圓的公共弦方程的概念,考查抽象思維能力和歸納推廣的能力.
解答:
(4)已知是不同的直線,是不重合的平面,給出下列命題:
①若則;
②若則;
③若,則;
④是兩條異面直線,若,則.
上面的命題中,真命題的序號是(寫出所有真命題的序號).
本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,考查邏輯推理和空間想象能力.
解答:③④
3.解答題
(1)已知函數(shù),證明:
①經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行與軸;②這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形.
本小題主要考查函數(shù)圖象的性質(zhì)、平行直線和對稱圖形以及推理論證能力.
證明:①設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩個(gè)點(diǎn),則,且
.
即,所以直線不平行于軸.
②設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一個(gè)點(diǎn),則,
且. …………(*)
所以,,否則有,得,這是不可能的.因此;由(*)式得:
此式表示:點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在函數(shù)圖象上,由于的任意性,知函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形.
(2)有一批影碟機(jī)(VCD)原價(jià)為每臺800元,在甲乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷:買一臺單價(jià)為780元,買兩臺每臺單價(jià)都為760元,依次類推,每多一臺則所買各臺單價(jià)均再減少20元,但每臺最低不能低于440元;乙商場一律都按原價(jià)的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機(jī),問去哪家商場購買花費(fèi)較少?
本小題是實(shí)際問題,考查的目標(biāo)是要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識作出分析,給出合理的判斷,考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,本題的實(shí)際背景是商品銷售問題,對考生比較公平,與生活相關(guān)性也比較高.本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)和不等式.
解:設(shè)某單位需要購買臺影碟機(jī),甲乙兩商場的購貨款的差價(jià)為,
則因?yàn)槿ゼ咨虉鲑徺I共花費(fèi),據(jù)題意,
去乙商場購買共花費(fèi),.
得
故若買少于10臺,去乙商場購買花費(fèi)較少; 若買10臺,去甲、乙商場購買花費(fèi)一樣;若買超過10臺,去甲商場購買花費(fèi)較少.
(3)某地現(xiàn)有耕地10000公頃,規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃(精確到1公頃)?
(糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/耕地面積,人均糧食占有量=總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù))
本小題的背景是人口增長和耕地流失的控制問題,這是當(dāng)前國情教育中的一個(gè)十分突出的問題.通過解決此類問題有助于增強(qiáng)學(xué)生的社會責(zé)任感和土地保護(hù)意識。該題考查的是數(shù)列知識,還把利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算的考查揉合其中,比較新穎.
解:設(shè)耕地平均每年至多減少公頃,現(xiàn)有人口人,糧食單產(chǎn)噸/公頃,依題意得:
得
所以
答:耕地平均每年至多減少4公頃.
(4)如圖,在底面是菱形的四棱錐中,,,,點(diǎn)在上,且.
(I)證明平面;
(II)求以為棱,與為面的二面角的大。
(Ⅲ)在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論.
本小題主要考查了棱錐、直線與平面垂直的判定與性質(zhì),二面角及二面角的平面角、直線與平面平行的判定和性質(zhì),同時(shí)考查了利用空間向量解決立體幾何問題的轉(zhuǎn)換能力、一定的計(jì)算能力以及邏輯推理能力.
第3問在設(shè)問上有一定開放性,這對空間觀念的要求,對空間圖形轉(zhuǎn)換要求,在水平層次上就有較大的提高,切入點(diǎn)是從特殊點(diǎn)開始進(jìn)行探究.
此題可用空間向量法解決,關(guān)鍵是能合理的構(gòu)建空間坐標(biāo)系.
總之,本題在解決方法上利用向量手段解決幾何問題,很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。同時(shí),空間向量在立體幾何中的應(yīng)用為考生創(chuàng)造了幾何證明的新思路,體現(xiàn)了解決問題策略的多樣化。另外,本題通過開放性問題的設(shè)計(jì),給學(xué)生留出了較大的思維空間,為學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題建立了一個(gè)平臺.
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