2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學（文史類）（福建卷）

 

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

 

（1）設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，則   （A∩B）等于 （A）{1，2，4}   （B）{4}       （C）{3，5}      （D）ø

（2）的值是                                                                                        （A）2     （B）2+          （C）4                          （D）

（3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要條件；

     命題q：函數(shù)y=的定義域是（－∞，－1∪[3，+∞.則                   （A）“p或q”為假         （B）“p且q”為真  

       （C）p真q假                                      （D）p假q真

（4）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是                                    

       （A）               （B）               （C）              （D）

（5）設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項和，若                                

       （A）1                 （B）－1                     （C）2                     （D）

（6）已知m、n是不重合的直線，α、β是不重合的平面，有下列命題：

①若mα，n∥α，則m∥n；

②若m∥α，m∥β，則α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，則α∥β.

其中真命題的個數(shù)是                                                                                       

       （A）0              （B）1               （C）2              （D）3

（7）已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f―1(x)，則函數(shù)y= f―1(1－x)的圖象是      

（8）已知a、b是非零向量且滿足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，則a與b的夾角是         （A）          （B）        （C）                 （D）

（9）已知展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是

       （A）28                   （B）38                   （C）1或38             （D）1或28

（10）如圖，A、B、C是表面積為48π的球面上三點，

AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O為球心，則直線

OA與截面ABC所成的角是

       （A）arcsin         （B）arccos

       （C）arcsin         （D）arccos

（11）定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x∈[3，4]時，f(x)= x－2，則           （A）f(sin)<f(cos)                   （B）f(sin)>f(cos)

       （C）f(sin1)<f(cos1)                          （D）f(sin)>f(cos)

（12）如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C

地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流

的沿岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離

比到B的距離遠2km，現(xiàn)要在曲線PQ上任

意選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運

貨物，經(jīng)測算，從M到B、C兩地修建公路

的費用都是a萬元/km、那么修建這兩條公路

的總費用最低是

       （A）(+1)a萬元                                （B）(2－2) a萬元                           

       （C）2a萬元                                    （D）(－1) a萬元

 

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

 

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

（14）設(shè)函數(shù)則實數(shù)a的取值范圍是            .

試題詳情

（15）一個總體中有100個個體，隨機編號0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同，若m=6，則在第7組中抽取的號碼是            .

（16）圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器（圖2）.當這個正六棱柱容器的底面邊長為         時，其容積最大.

試題詳情

 

 

 

 

圖1

（17）（本小題滿分12分）

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

設(shè)函數(shù)f(x)=a?b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.

試題詳情

（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

試題詳情

（Ⅱ）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.

 

 

 

 

 

 

 

（18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（Ⅰ）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；

（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

試題詳情

在三棱錐S―ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M為AB的中點.

試題詳情

（Ⅱ）求二面角N―CM―B的大小；

（Ⅲ）求點B到平面SCM的距離.

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

試題詳情

某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）.

（Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達式；

（Ⅱ）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

試題詳情

如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q.

（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；

（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離.

試題詳情

 

 

 

 

 

 

 

 

（22）（本小題滿分14分）

試題詳情

     已知f(x)=在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；

試題詳情

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

 

2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學答案（文史類）（福建卷）

 

（1）A    （2）C    （3）D     （4）B     （5）A     （6）B 

（7）C    （8）B    （9）C     （10）D    （11）C    （12）B

試題詳情

二、填空題

（13）4    （14）（－∞，－1）     （15）63    （16）2/3  

（17）本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力.滿分12分.

試題詳情

三、解答題

解：（Ⅰ）依題設(shè)，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).

試題詳情

由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2x+)=－.

試題詳情

∵－≤x≤，∴－≤2x+≤，∴2x+=－，

試題詳情

即x=－.

（Ⅱ）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.

試題詳情

由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1.    ∵|m|<，∴m=－，n=1.

（18）本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則

試題詳情

P(A)===，   P(B)===.

試題詳情

答：甲、乙兩人考試合格的概率分別為

（Ⅱ）解法一、因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為

試題詳情

P()=P()P()=（1－)(1－)=.

∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

試題詳情

P=1－P()=1－=.

試題詳情

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

解法二：因為事件A、B相互獨立，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

試題詳情

P=P(A?)+P(?B)+P(A?B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)

試題詳情

=×+×+×=.

試題詳情

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

試題詳情

解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結(jié)DS、DB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥DB，

試題詳情

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

過D作DE⊥CM于E，連結(jié)SE，則SE⊥CM，

∴∠SED為二面角S－CM－A的平面角.

試題詳情

由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2.

試題詳情

在Rt△SDE中，tan∠SED==2，

試題詳情

∴二面角S－CM―A的大小為arctan2.

試題詳情

（Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=，CM是邊長為4 正△ABC的中線，

試題詳情

.   ∴S△SCM=CM?SE=，

設(shè)點B到平面SCM的距離為h，

試題詳情

由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC， 得S△SCM?h=S△CMB?SD，

試題詳情

∴h=  即點B到平面SCM的距離為

試題詳情

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∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如圖所示建立空間直角坐標系O－xyz.
則A（2，0，0），C（－2，0，0），


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S（0，0，2），B（0，2，0）.


試題詳情


∴=（－4，0，0），=（0，－2，2），


試題詳情


∵?=（－4，0，0）?（0，－2，2）=0，
∴AC⊥BS.


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（Ⅱ）由（Ⅰ）得M（1，，0），，


試題詳情


=（2，0，2）.   設(shè)n=（x，y，z）為平面SCM的一個法向量，


試題詳情


則  


試題詳情


∴n=(－1，，1)， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， 


試題詳情


∴cos(n，)==


試題詳情


∴二面角S－CM－A的大小為arccos


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（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（2，2，0），


試題詳情


n=（－1，，1）為平面SCM的一個法向量，


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∴點B到平面SCM的距離d=
（20）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.滿分12分.
解：（Ⅰ）依題設(shè)，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；


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Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.


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（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)


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=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].


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因為函數(shù)y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上為增函數(shù)，


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當1≤n≤3時，n(n+1) － －10≤12－－10<0；


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當n≥4時，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴僅當n≥4時，Bn>An.
答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤.
（21）本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.


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解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2， ∴點P坐標為（2，2）.


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由  ，  ①     得，  ∴過點P的切線的斜率k切=2，


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直線l的斜率kl=－=   ∴直線l的方程為y－2=－(x－2)，


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即 x+2y－6=0.


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（Ⅱ）設(shè)
∵ 過點P的切線斜率k初=x0，當x0=0時不合題意，


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  ∴ 直線l的斜率kl=－=，


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直線l的方程為      ②


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方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x02－2=0.   設(shè)Q   
∵M是PQ的中點，


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∴


試題詳情


消去x0，得y=x2+(x≠0)就是所求的軌跡方程.


試題詳情


由x≠0知


試題詳情


上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是
方法二：


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設(shè)Q則


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由y0=x02，y1=x12，x=


試題詳情


∴ y0－y1=x02－x12=(x0+x1)(x0－x1)=x(x0－x1)，


試題詳情


∴   ∴


試題詳情


將上式代入②并整理，得  y=x2+(x≠0)就是所求的軌跡方程.


試題詳情


由x≠0知


試題詳情


上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是
（22）本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.


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解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2  ∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，
∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①


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設(shè)(x)=x2－ax－2，
方法一：


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  (1)=1－a－2≤0，


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①                               －1≤a≤1，


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      (－1)=1+a－2≤0.
∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：


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       ≥0，                   <0，


試題詳情


①        
             或


試題詳情


      
    (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0


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       0≤a≤1        
或   －1≤a<0


試題詳情


       －1≤a≤1.
∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.


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（Ⅱ）由
∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實根，


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             x1+x2=a，


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∴         
                    從而|x1－x2|==.
x1x2=－2，


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∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②
設(shè)g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：


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           g(－1)=m2－m－2≥0，


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②   
      
        g(1)=m2+m－2≥0，


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m≥2或m≤－2.
所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，


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          m>0，              
   m<0，


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②            
        或
           g(－1)=m2－m－2≥0      g(1)=m2+m－2≥0 


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 m≥2或m≤－2.
所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.


試題詳情



				
	

		



同步練習冊答案





























	





	







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