吉林省長春市2009年高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，試卷滿分150分．做題時間為120分鐘。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

注意事項：

    1．答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形

       碼區(qū)域內(nèi)。

2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字

體工整、筆跡清楚。

    3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

       稿紙、試題卷上答題無效。

4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀。

 

第I卷（選擇題，共60分）

 

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上。）

1．=                                                                                            （    ）

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       A．                      B．                   C．                      D．

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2．已知命題“若p則q”為真命題，命題“若q則p”為假命題，那么p是q的     （    ）

       A．充要條件                                           B．充分不必要條件

       C．必要不充分條件                                 D．既不充分也不必要條件

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3．集合，則集合M中元素個數(shù)為            （    ）

       A．1                        B．2                        C．4                        D．5

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4．現(xiàn)有兩名教師和4名學(xué)生排成一排拍照，要求每一位教師兩邊都有學(xué)生，有多少種不同的排法                                                    （    ）

       A．144                    B．256                     C．288                     D．480

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5．設(shè)函數(shù)=                                                   （    ）

       A．6                        B．―6                     C．2                        D．0

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7．已知成等比數(shù)列，則有                        （    ）

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       A．                                    B．

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       C．                                     D．

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8．設(shè)地球儀半徑為R，在北緯450緯線圈上A、B兩點的經(jīng)度差為900，則A、B兩點的球面距離為                                                 （    ）

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       A．                   B．                    C．                    D．

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9．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)說法正確的是                                      （    ）

       A．奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)                  B．奇函數(shù)且在R上為減函數(shù)

       C．偶函數(shù)且在R上為增函數(shù)                  D．偶函數(shù)且在R上為減函數(shù)

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10．在項的系數(shù)為                                                （    ）

       A．―35                   B．35                      C．―21                   D．21

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11．已知雙曲線的取值范圍是

                                                                                                                              （    ）

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       A．           B．              C．        D．

 

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12．已知函數(shù)與函數(shù)

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    =                               （    ）

       A．0                        B．1                        C．―2008               D．―2009

 

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

 

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二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）

13．函數(shù)的定義域為          。

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14．在△ABC中，點D滿足=         。

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15．某地區(qū)中學(xué)高三共有10000人參加模擬考試，數(shù)學(xué)考試的成績（試卷滿分150分）服從正態(tài)分布，統(tǒng)計結(jié)果顯示學(xué)生考試成績在60分到90分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試成績不低于90分的學(xué)生約有        人。

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16．給出下列命題：

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       ①兩異面直線角，過空間一定點O且與兩異面直線a、b均成600角的直線有且只有1條；

20090515

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       ③兩平面，過空間一定點O且與兩平面角的直線有且只有1條。

    則上述命題中正確的有               （將你認為正確說法前面的序號填上）。

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三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17．（本小題滿分10分）

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    已知分別為角A，B，C所對的邊，

   （1）求角A的大小；

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   （2）若的最大值。

 

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18．（本小題滿分12分）

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        甲、乙兩名教師進行乒乓球比賽，采用七局四勝制（先勝四局者獲勝），若每一局比賽甲獲勝的概率為乙獲勝的概率為，現(xiàn)已賽完兩局，乙暫時以2：0領(lǐng)先。

   （1）求甲獲勝的概率；

   （2）設(shè)比賽結(jié)束時比賽的局數(shù)為隨機變量ξ，求Eξ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

    如圖，正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點E在CC1上，且CE=λCC1。

   （1）λ為何值時，A1C⊥平面BED；

   （2）若A1C⊥平面BED，求二面角A1―BD―E的大小。

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20．（本小題滿分12分）

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    在數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，

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   （1）求的通項公式，并證明你的結(jié)論；

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   （2）證明：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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    已知函數(shù)

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   （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

20090515

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   （3）對于實數(shù)a，討論關(guān)于x的方程的實根的個數(shù)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分12分）

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拋物線的焦點為F，M是其準線l上一點，直線MF與拋物線相交于A、B兩點，令O是坐標原點，K是準線l與x軸的交點。

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   （1）求證：

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   （2）當時，求直線AB的斜率；

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試題詳情

 

說明：

    一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應(yīng)的評分細則。

    二、對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得累加分。

    四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分數(shù)。

一、選擇題：每小題5分，滿分60分。

1―5 DBCAB    6―10 ABDAD    11―12CC

二、填空題：每題5分，共20分

13．    14．    15．2000    16．②③

三、解答題（滿分70分）

17．本小題主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式等基礎(chǔ)知識。

    解：（1）

                                    （5分）

   （2）將，

   

18．本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，獨立重復(fù)試驗概率問題，考查運用數(shù)學(xué)知

識分析問題解決問題的能力。

解：（1）設(shè)甲獲勝為事件B，則甲獲勝包括甲以4：2獲勝和甲以4：3獲勝兩種情況：

                           （5分）

   （2）隨機變量ξ可能的取值為4，5，6，7，

ξ的分布列為：

ξ

4

5

6

7

P

                       （12分）

19．本小題主要考查正四棱柱中線線位置關(guān)系、線面垂直判定、三垂線定理、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算能力以及空間向量的應(yīng)用。

    ∵AC⊥BD，∴A1C⊥BD，

若A1C⊥平面BED，則A1C⊥BE，

由三垂線定理可得B1C⊥BE，

∴△BCE∽△B1BC，

   （2）連A1G，連EG交A1C于H，則EG⊥BD，

∵A1C⊥平面BED，

∴∠A1GE是二面角A1―BD―E的平面角。                            （8分）

（12分）

   （1）以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，

射線DC為y軸的正半軸，建立如圖所示直角坐

標系D―xyz。

      （6分）

   （2）設(shè)向量的一個法向量，

                         （12分）

20．本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列定義，求通項、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題的能力和推理論證能力。

    解：（1）成等比數(shù)列，

                                            （1分）

   

    猜想：                    （4分）

    下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

   

    由上可知猜想成立

   （2）

   

21．解：（1）函數(shù)

對求導(dǎo)得

   

0

（0，1）

1

―

―

0

+

0

―

極小

極大

    從而是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，（0，1）是的單調(diào)遞增區(qū)間，并且當

   

   （2）設(shè)曲線，則切線的方程為

    

   （3）根據(jù)上述研究，對函數(shù)分析如下：

    

   

    交點的橫坐標，交點的個數(shù)即為方程的實根的個數(shù)。

   

    因此當a=0時，原方程只有一個實數(shù)根；

   

22．解：（1）分別過A、B作準線l的垂線，A1、B1為垂足，則根據(jù)拋物線定義得

    |AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，

    ∽Rt△MAA1，

   

   （2）

①

 

②

    把②兩邊平方得

    又代入上式得

            把③代入①得

           

                                                 （6分）

           （3）設(shè)直線AB的傾斜角為，根據(jù)對稱性只需研究是銳角情形，不妨設(shè)是銳角，

            則

           

            從而   

                （7分）

            根據(jù)（2）知而函數(shù)上是增函數(shù)，

           

            即             （9分）

           

            取得極小值；也就是最小值，

           

         

         


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