2008年高考復(fù)習(xí)求解圓錐曲線問題易做易錯題選
圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是歷屆高考命題的熱點(diǎn)，求解圓錐曲線問題時，學(xué)生應(yīng)注意避免以下常見問題。
一、概念不清
例1 雙曲線
上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離為8.5，求點(diǎn)P到點(diǎn)(
)的距離。
錯解 設(shè)雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為
,
,
由雙曲線定義知
所以
或
剖析 由題意知，雙曲線左支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為1,
所以不合題意，事實(shí)上，在求解此類問題時，應(yīng)靈活運(yùn)用雙曲線定義，分析出點(diǎn)P的存在情況，然后再求解。如本題中，因左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9>8.5，故點(diǎn)P只能在右支上，所求
例2 已知圓
，圓
都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。
錯解：圓O2：
即為
所以圓O2的圓心為
,半徑
,
而圓的圓心為
,半徑
,
設(shè)所求動圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r
則
且
所以
即
化簡得
即
為所求動圓圓心的軌跡方程。
剖析：上述解法將
=3看成
,誤認(rèn)為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。
事實(shí)上，|
表示動點(diǎn)M到定點(diǎn)
及
的距離差為一常數(shù)3。
且
,點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右支，方程為
二、忽視隱含條件
例3 點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動點(diǎn)P與定點(diǎn)
距離的最值。
錯解：設(shè)動點(diǎn)P(x,y)到直線x=8的距離為d，則
即
兩邊平方、整理得
=1 （1）
由此式可得：
因?yàn)?sub>
所以
剖析 由上述解題過程知,動點(diǎn)P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是有限制的，上述錯解在于忽視了
這一取值范圍，由以上解題過程知，
的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決
即：當(dāng)
時，
三、忽視元素之間的制約關(guān)系
例4 已知雙曲線
的離心率e=
, 過點(diǎn)A（
）和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為
,直線y=kx+m
與該雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。
錯解 由已知，有
解之得：
所以雙曲線方程為
把直線 y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：
所以
(1)
設(shè)CD中點(diǎn)為
，
則AP
CD，且易知：
所以
(2)
將(2)式代入(1)式得
解得m>4或
故所求m的范圍是
剖析 上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將
代入(1) 式時，m受k的制約。
因?yàn)?sub>
所以
故所求m的范圍應(yīng)為
m>4或
四、沒有分類意識
例5 橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率
,已知點(diǎn)P（
）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是
，求這個橢圓的方程。
錯解 設(shè)所求橢圓方程為
因?yàn)?sub>
所以a=2b
于是橢圓方程為
設(shè)橢圓上點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)P
的距離為d,
則：
所以當(dāng)
時，
有
所以所求橢圓方程為
剖析 由橢圓方程
得
由(1)式知
是y的二次函數(shù)，
其對稱軸為
上述錯解在于沒有就對稱軸在區(qū)間
內(nèi)或外進(jìn)行分類，
其正確應(yīng)對f(y)=
的最值情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)
，即
時
=7
,方程為
（2）當(dāng)
,
即
時，
，與矛盾。
綜上所述，所求橢圓方程為
五、忽視判別式法。
例 6 已知雙曲線
,問過點(diǎn)A（1，1）能否作直線
,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。
錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)
、
則
（1）
得
因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)，
所以
將(4)、(5)代入（3）得
若
，則直線的斜率
所以符合題設(shè)條件的直線存在。
其方程為
剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯誤的。
應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由
得
根據(jù)
,說明所求直線不存在。
六、忽視斜率不存在的情況。
例7 已知橢圓
，F(xiàn)為它的右焦點(diǎn)，直線過原點(diǎn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。求
是否存在最大值或最小值？若不存在，說明理由。
錯解 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為
、
因?yàn)?sub>
所以
又橢圓中心為（1，0）,右準(zhǔn)線方程為x=5
所以
即
同理
所以
設(shè)直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得
所以
代入(1)式得
所以
所以
|有最小值3,無最大值。
剖析 上述錯解過程忽視了過原點(diǎn)斜率不存在的直線，當(dāng)的斜率不存在時，有
所以有最小值為 3，最大值為25/4
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