秘密★啟用前
重慶一中高2009級高三下期5月月考
數(shù) 學(xué)（理科）試 題 卷 2009.5
數(shù)學(xué)試題共4頁。滿分150分�？荚嚂r間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
第Ⅰ卷（選擇題，共
分）
一、選擇題：（本大題 10個小題，每小題5分，共50分）在每小題給出的四個選
1．已知
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．我市某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生900人，高三年級有學(xué)生
1500人,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為720的樣本進行某項調(diào)查，則高
二年級應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為（ ）
A．180 B．240 C．480 D．720
3．曲線
在區(qū)間
上截直線
與
所得的
弦長相等且不為
，則下列描述中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，則下列函數(shù)的圖象錯誤的是（ ）
5．下列四個條件中，
是
的必要不充分條件的是（ ）
A．
，
B．，
C．
為雙曲線，
D．
，
6．設(shè)
是
的展開式中
的一次項的系數(shù)，則
的值是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．
7．設(shè)
兩地位于北緯
的緯線上，且兩地的經(jīng)度差為
，若地球的半徑為
千
米，且時速為20千米的輪船從
地到
地最少需要
小時，則為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知圓
，點
，動點
在圓上，則
的最大值為（ ）A．
B． C．
D．
9．已知
為定義在
上的可導(dǎo)奇函數(shù),且
（其中
是的導(dǎo)函數(shù)）對于
恒成立,則
的解集為（ ）
A.
B.
C.
D. 
10．拋物線
過焦點的弦
，過該弦端點
的兩條切線的交點為
，則
的面積的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共
分）
卡相應(yīng)位置上，只填結(jié)果，不要過程）。
二、填空題：（本大題5個小題，每小題5分，共25分）各題答案必須填寫在答題
11．在等比數(shù)列
中，且
，則
___________。
12．已知函數(shù)
在上連續(xù)，則
_________________。
13．三棱錐
中，
平面
，
，
為
中點，
為
中點，則點到直線
的距離等于________________。
14．在同一平面內(nèi)，已知
，且
。若
，則
的面積等于________________。
15．有機化學(xué)中一烷烴起始物的分子結(jié)構(gòu)式是
,將其中的所有氫原子用甲基取代得到：
,再將其中的12個氫原子全部用甲基代換,如此循環(huán)以至無窮,球形烷烴分子由小到大成一系列,則在這個系列中,由小到大第
個分子中含有的碳原子的個數(shù)是____________________。
定的方框內(nèi)（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）。
三、解答題：（本大題6個小題，共75分）各題解答必須答在答題卷上相應(yīng)題目指
16．（13分）在
中，已知
，
。
（1）求
；
（2）求證：
。
17．（13分）設(shè)點
是區(qū)域
內(nèi)的隨機整點（整點是指橫、縱坐標都
為整數(shù)的點）。
（1）已知關(guān)于的一元二次函數(shù)
，求函數(shù)
上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)區(qū)域內(nèi)的隨機整點的橫、縱坐標之和構(gòu)成隨機變量
，求的分布列與期望。
18．（13分）如圖，已知平行四邊形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，
是線段
的中點。
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）設(shè)點
為一動點，若點從出發(fā)，
沿棱按照
的路線運動到
點
，求這一過程中形成的三棱錐
的體積的最小值。
19．（12分）若存在實常數(shù)
和
，使得函數(shù)和
對其定義域上的任意實數(shù)
分別滿足：
和
，則稱直線
為和的“分
界直線”，已知
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）。
（1）求
的極值；
（2）函數(shù)
和
是否存在分界直線？若存在，求出此分界直線方程；若不存在，請說明理由。
20．（12分）已知圓交軸于兩點，
曲線是以為長軸，直線
為準線的橢圓。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若是直線
上的任意一點，以
為直徑的圓
與圓
相交于
兩點，求證：直線
必過
定點，并求出點的坐標；
（3）如圖所示，在（2）的條件下，若直線與橢圓
交于
兩點。試問在軸上是否存在定點
，
使
恒為定值
？若存在，求出點的坐標及
實數(shù)的值；若不存在，請說明理由。
21．（12分）設(shè)數(shù)列
。
（1）求證：
；
（2）設(shè)
求證：
。
命題：鄒發(fā)明
審題：謝 凱
重慶一中高2009級高三下期5月月考考試
1．C 2．A 3．A 4．D 5. D 6．B 7. B 8. A 9. B 10．D
11. 
12. 2 13. 
14. 
15. 
16．解：（1）∵
，∴
，
∵
，∴
, 
即
邊的長度為
。
（2）由
，得
…………①
，即
…………②
由①②得
，由正弦定理
，∴
，即證。
17． 解：（1）∵函數(shù)
的圖象的對稱軸為
要使在區(qū)間
上為增函數(shù)，當且僅當
且
。
依條件可知試驗的全部結(jié)果為
，即
共15個整點。
所求事件為
，即
共5個整點，∴所求事件
的概率為
。
（2）隨機變量
的取值有：2，3，4，5，6。的隨機分布列為：
2
3
4
5
6
隨機變量的期望
。
18．解法一：（1）易求
，從而
，由三垂線定理知：
。
（2）法一：易求
由勾股定理知
，設(shè)點
在面
內(nèi)的射影為
，過作
于
，連結(jié)
，則
為二面角
的平面角。在
中由面積法易求
，由體積法求得點到面的距離是
，所以
，所以求二面角的大小為
。
法二：易求由勾股定理知，過作于，又過作
交
于
，連結(jié)
。則易證
為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而
于是
，所以
，在
中由余弦定理求得
。再在
中由余弦定理求得
。最后在
中由余弦定理求得
，所以求二面角的大小為
。
（3）設(shè)AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當P點在M或C時，三棱錐P―BFD的體積的最小。
。
解法二：空間向量解法，略。
19.解：（1）
當
時，
當
時，
此時函數(shù)
遞減；當
時，
此時函數(shù)遞增；
當時，取極小值，其極小值為0。
（2）由（1）可知函數(shù)
和
的圖像在處有公共點，因此若存在和的分界直線，則該直線過這個公共點。設(shè)分界直線的斜率為
則直線方程為
即
由
可得
當
時恒成立
由
得
。
下面證明
當
時恒成立。
令
則
當時，
。當時，
此時函數(shù)
遞增；當時，
此時函數(shù)遞減；當時，取極大值，其極大值為0。
從而
即
恒成立。
函數(shù)和存在唯一的分界直線
。
20．解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為
，則：
，從而：
，故
,所以橢圓的標準方程為
。
（2）設(shè)
，則圓
方程為
,與圓
聯(lián)立消去
得
的方程為
，過定點
。
（3）將
與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去
得：
,設(shè)
，則
。
，
所以
。
故存在定點
，使
恒為定值
。
21．解：（1）法一：數(shù)學(xué)歸納法；
法二：
所以
為首項為
公比為2的等比數(shù)列，
，即證。
法三：，兩邊同除以
，轉(zhuǎn)化為疊加法求數(shù)列通項類型。
（2）法一：容易證明
單調(diào)遞增，
。由函數(shù)
割線斜率與中點切線斜率的關(guān)系想到先證
，即證
，即證
。令
下證
。事實上，構(gòu)造函數(shù)
，則
，
，所以
在
上單調(diào)遞增，故
，則
，即證
。
于是由有
，
（因為
）。
法二：要證
，即證
，聯(lián)想到熟悉的不等式（證明如法一）。令
，則
，即證
，下同方法一。
法三：聯(lián)想到熟悉的不等式
（證略）。令，則
，即證
而
，但驗算當
時
不成立。故單獨驗證
時原不等式成立，經(jīng)驗證成立。下用數(shù)學(xué)歸納法證
成立。
由，則
，作差有
。
①當
時，
成立。
②假設(shè)
時，
，則
當
時，
，
下證
，顯然。所以，命題對時成立。綜上①②即證。
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