1,3,5
答案:(1)因為AC、AD、AB兩兩垂直,建立如圖坐標(biāo)系,
則B(2,0,0),D(0,0,2),
E(1,1,2),F(xiàn)(2,2,0),
則
設(shè)平面BEF的法向量
,則可取
,
∴向量
所成角的余弦為
。
即BD和面BEF所成的角的余弦
。
(2)假設(shè)線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直,不妨設(shè)EP與PF的比值為m,則P點坐標(biāo)為
則向量
,向量

所以
。
點評:本題考查了線線關(guān)系,線面關(guān)系及其相關(guān)計算,本題采用探索式、開放式設(shè)問方式,對學(xué)生靈活運用知識解題提出了較高要求。
5.
已知正方形
、
分別是
、
的中點,將
沿
折起,如圖所示,記二面角
的大小為
(I) 證明
平面
;
(II)若
為正三角形,試判斷點
在平面
內(nèi)的射影
是否在直線
上,證明你的結(jié)論,并求角
的余弦值
分析:充分發(fā)揮空間想像能力,重點抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系,借助模型圖形得出結(jié)論,并給出證明.
解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,
EB//FD,且EB=FD,
四邊形EBFD為平行四邊形
BF//ED.
,
平面
(II)如右圖,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD

ACD為正三角形,
AC=AD.
CG=GD.
G在CD的垂直平分線上,
點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,
過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則
,所以
為二面角A-DE-C的平面角
即
.
設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,在折后圖的
AEF中,AF=
,EF=2AE=2a,即
AEF為直角三角形,
.
在Rt
ADE中, 
.
,
點評:在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中,一般來說,位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變:位于兩個不同平面內(nèi)的元素,位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化,翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.
6.
設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果ΔAMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.
分析:關(guān)鍵是找出球心所在的三角形,求出內(nèi)切圓半徑.
解:
∵AB⊥AD,AB⊥MA,
∴AB⊥平面MAD,
由此,面MAD⊥面AC.
記E是AD的中點,從而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC,ME⊥EF.
設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.
不妨設(shè)O∈平面MEF,于是O是ΔMEF的內(nèi)心.
設(shè)球O的半徑為r,則r=
設(shè)AD=EF=a,∵SΔAMD=1.
∴ME=
.MF=
,
r=
≤
=
-1。
當(dāng)且僅當(dāng)a=
,即a=
時,等號成立.
∴當(dāng)AD=ME=
時,滿足條件的球最大半徑為
-1.
點評:涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面,把空間問題化歸為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系;多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。