2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測
專題七 應(yīng)用性問題
1.
近年來，太陽能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快．2002年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長率為34%．以后四年中，年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%（如，2003年的年生產(chǎn)量的增長率為36%）．
（1）求2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1兆瓦）；
（2）目前太陽電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006年的實際安裝量為1420兆瓦．假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%），這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到多少（結(jié)果精確到0.1%）？
分析：本題命題意圖是考查函數(shù)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決問題的能力。
解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率依次為 
，
，
，
．則2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量為 
(兆瓦)．
（2）設(shè)太陽電池的年安裝量的平均增長率為
，則
．解得
．因此，這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到
．
點評：審清題意，理順題目中各種量的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。
2.
某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交
元（
）的管理費(fèi)，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為
元（
）時，一年的銷售量為
萬件．（Ⅰ）求該分公司一年的利潤
（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該分公司一年的利潤最大，并求出的最大值
．
分析：本題命題意圖是考查函數(shù)的解析式的求法、利用導(dǎo)數(shù)求最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力．
解析：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為： 
．
（Ⅱ）
，令
得
或
（不合題意，舍去）．
，
． 在兩側(cè)
的值由正變負(fù)．
所以（1）當(dāng)
即
時，
．
（2）當(dāng)
即
時，
，
所以
答：若，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值
（萬元）；若，則當(dāng)每件售價為
元時，分公司一年的利潤最大，最大值
（萬元）．
點評：準(zhǔn)確進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)極值、最值的方法是解決此題的關(guān)鍵。
3. （07安徽文理）某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲務(wù)金數(shù)目a1，a2，…是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利.這就是說，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?i>a1（1＋r）a－1，第二年所交納的儲備金就變?yōu)?i>a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.
（Ⅰ）寫出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關(guān)系式；
（Ⅱ）求證：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一個等比數(shù)列，｛Bn｝是一個等差數(shù)列.
分析：本小題命題意圖主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生的閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力，考查應(yīng)用所學(xué)的知識分析和解決實際問題的能力。
解析：（1）我們有
（
）
（2）
，對反復(fù)使用上述關(guān)系式，得：
。①
在①式兩邊同乘以
，得：
②
由②－①，得
，即
。
如果記
，
，則
，其中
是以
為首項，以
為公比的等比數(shù)列；
是以
為首項，以
為公差的等差數(shù)列。
點評：掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、以及求和方法是解決此題的關(guān)鍵。
4.
如圖，甲船以每小時30
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A1處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？（07山東理）
分析：本題命題意圖是通過實際問題考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解決問題的能力。
解析：如圖，連結(jié)
，
，
，
是等邊三角形，
，在
中，由余弦定理得
，
，
因此乙船的速度的大小為
答：乙船每小時航行
海里.
點評：連接，構(gòu)造兩個可解的三角形與是處理此題的關(guān)鍵，此外，還可連接
來解。
5.
某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個等級.對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)
果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)
出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、
η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在
（I）的條件下，求ξ、η的分布列及
Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額
如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.
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項目 產(chǎn)品 工人（名） 資金（萬元） 甲 8 8 乙 2 10
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