高考數(shù)學復習易做易錯題選
排列組合易錯題正誤解析
排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯.本文選擇一些在教學中學生常見的錯誤進行正誤解析，以饗讀者.
1沒有理解兩個基本原理出錯
排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.
例1（1995年上海高考題）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.
誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.
錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.
正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有
種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有
種方法，據(jù)乘法原理共有
種方法.同理，完成第二類辦法中有
種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有
種方法.
例2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.
（A）
（B）
（C）
（D）
誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.
錯因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.
正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有
種.
說明：本題還有同學這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.
2判斷不出是排列還是組合出錯
在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.
例3 有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？
誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有
種方法.
錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.
正解：8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：
排法.
3重復計算出錯
在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。
例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）
（A）480 種 （B）240種 （C）120種 （D）96種
誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有
種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有
種不同的分法，選A.
錯因分析：設(shè)5本書為
、
、
、
、
，四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：
表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復了一次.
正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有
種方法；第二步：再把4本書分給4個學生，有
種方法.由乘法原理，共有
種方法，故選B.
例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
誤解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列.共有：
，選B.
錯因分析：這里是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復計算了.
正解：
種.
4遺漏計算出錯
在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。
例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）
（A）36個 （B）48個 （C）66個 （D）72個
誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，
又因為第1位不能是0，在最后一位取定后只有3種取
法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有
種排法，共有
個.
錯因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).
正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有
個，再由前面分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共有72個，選D.
5忽視題設(shè)條件出錯
在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.
例7 (2003全國高考題)如圖，一個
地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，
要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4
種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）
誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有
種，由乘法原理共有：
種.
錯因分析：據(jù)報導，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務.
正解：當使用四種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有
種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有
種.綜上共有：
種.
例8 已知
是關(guān)于
的一元二次方程，其中
、
，求解集不同的一元二次方程的個數(shù).
誤解：從集合
中任意取兩個元素作為
、
，方程有
個，當、取同一個數(shù)時方程有1個，共有
個.
錯因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于
同解、
同解，故要減去2個。
正解：由分析，共有
個解集不同的一元二次方程.
6未考慮特殊情況出錯
在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.
例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）
(A)1024種 (B)1023種 (C)1536種 (D)1535種
誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有
種.
錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成 4 種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.
正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有
種.
7題意的理解偏差出錯
例10 現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.
（A）
（B）
（C）
（D）
誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有
種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有
種方法，這樣共有種排法，選A.
錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.
正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.
8解題策略的選擇不當出錯
有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.
例10 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.
（A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種
誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有
種方案.
錯因分析：顯然這里有重復計算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當作了不一樣的情況，并且這種重復很難排除.
正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：
種方案.
排列組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯的地方就能夠以不變應萬變，把排列組合學好.
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