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練習(xí)冊

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試題

湖北省鄂州市2009屆高三五月模擬試題

數(shù)學(xué)（理科）

命題人：胡俊峰　　審題人：王兆良

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．設(shè)＝(2，－3)，＝(－4，3)，＝(5，6)，則(＋3)?等于

A．(－50，36) B．－12 C．0 D．－14

2．“a＝”是“對任意的正數(shù)x，2x＋≥1”的

A．必要不充分條件 B．充分不必要條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

3．已知、是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足(－)?(－)＝0，則的最大值是

A．1 B．2 C． D．

4．如圖，AB＝AC＝BD＝1，ABM，AC⊥M，

BD⊥AB，BD與面M成30^o角，則CD等于

A．1 B．2

C． D．

5．函數(shù)y＝f (x)的反函數(shù)為f^－¹(x)，則函數(shù)y＝f (x＋1)＋1的反函數(shù)為

A．y＝f ^－1(x＋1)＋1 B．y＝f ^－1(x－1)－1

C．y＝f ^－1(x－1)＋1 D．y＝f ^－1(x＋1)－1

6．已知f (x)＝，當(dāng)θ∈(π，π)時，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化簡為

A．2sinθ B．－2cosθ C．2cosθ D．－2sinθ

7．三對夫妻排成一行，夫妻不相鄰的不同排法共有（）種

A．360 B．420 C．240 D．432

8．下列函數(shù)中在x＝0處連續(xù)的是

A． B．

C．f (x)＝(1＋x) D．

9．過拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F 的直線l從上到下依次交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于C，若，＝3，則拋物線的方程為

A．y²＝9x B．y²＝6x C．y²＝3x D．y²＝

10．設(shè)，若對任何x≥0，都有f (x)≤ax，則a∈

A． B． C． D．

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在相應(yīng)位置上。

11．判斷正假（填“真”或“假”）已知復(fù)數(shù)z₁、z₂滿足且z₁＋2z₂為純虛數(shù)，則3z₁－z₂為實(shí)數(shù)______________．

12．已知⊙M：x²＋(y－2)²＝1，Q是x軸上動點(diǎn)QA、QB分別切⊙M于A、B兩點(diǎn)，則直線AB恒過定點(diǎn)______________．

13．已知數(shù)列滿足a₁＝1，a_n＝a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋(n?1) a_n_?1(n≥2)，則的通項(xiàng)a_n＝_____________．

14．已知f (x)是R上的函數(shù)，且f (x＋2)＝，若f (1)＝，則f (2009)＝_______．

15．設(shè)a∈R，f (x)＝ax²＋x?a(?1≤x≤1)，當(dāng)a＝_______時，f (x)_max＝．

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，．

⑴求f (x)的最值；

⑵若不等式＜2在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

17．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60^o，E、F 分別是BC、PC的中點(diǎn)．

⑴證明：AE⊥PD；

⑵若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正
切值為，求二面角E―AF―C的余弦值．

18．（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序加工結(jié)果均有A、B兩個等級，對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．

⑴已知甲、乙兩種產(chǎn)品第一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P_甲、P_乙；

⑵已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在⑴的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

⑶已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金數(shù)如表三所示，該工廠有工人40名，可用資金60萬元，設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在⑵的條件下，x、y為何值時，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？

19．已知兩定點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，動圓M與直線AB相切于點(diǎn)N，且，現(xiàn)分別過點(diǎn)A、B作動圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點(diǎn)P．

⑴求動點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵若直線x?my?3＝0截動點(diǎn)P的軌跡所得的弦長為5，求m的值；

⑶設(shè)過軌跡上的點(diǎn)P的直線與兩直線分別交于點(diǎn)P₁、P₂，且點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ(λ＞0)，當(dāng)λ∈時，求的最值．

20．（本小題滿分13分）數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N_＋總有a_n，S_n，成等差數(shù)列．

⑴求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且．求證：對任意x∈(1，e]和n∈N_＋，總有T_n＜2；

⑶正數(shù)數(shù)列{a_n}中，a_n_＋1＝(c_n)ⁿ^＋1(n∈N_＋)．求數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．

21．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)．

⑴求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵是否存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式f (x)≥a的解集為(0，＋∞)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．

鄂州市2009屆高三五月模擬試題

一、選擇題

1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D

二、填空題

11．真　　12．　　13．　　14．2＋　　15．－2

三、解答題

16．⑴∵ 1分

＝ 3分

又由得 ∴ 5分

故，f (x)_max＝1＋2×1＝3 6分

⑵＜2在上恒成立時 9分

結(jié)合⑴知：故m的取值范圍是（1，4） 12分

17．⑴連結(jié)AC，△ABC為正△，又E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。 4分

⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分

而tan∠AHE＝故當(dāng)AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大

6分

令A(yù)B＝2，則AE＝，此時

∴AH＝，由平幾知識得PA＝2 7分

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC

過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO

為二面角E―AF―C的平面角 9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝，AO＝AE?cos30°＝

又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值為 12分

注：向量法及其它方法可參照給分。

18．⑴P_甲＝0.8×0.85＝0.68，P_乙＝0.75×0.8＝0.6 3分

⑵隨機(jī)變量ξ、η的分布列如下：

ξ

5

2.5

η

2.5

1.5

P

0.68

0.32

P

0.6

0.4

Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1 7分

⑶由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y 9分

作出可行域（如圖）：高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。

作直線l：4.2x＋2.1y＝0，將l向右上方平移到l₁位置時

直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大

此時Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)

即x＝y(tǒng)＝4時，z取最大值25.2。 12分

19．⑴由題設(shè)及平面幾何知識得

∴動點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支由，

∴b²＝c²－a²＝5，故所求P點(diǎn)的軌跡方程為 3分

⑵易知直線x?my?3＝0恒過雙曲線焦點(diǎn)B(3，0)

設(shè)該直線與雙曲線右支相交于D(x_D，y_D)，E(x_E，y_E)由雙曲線第二定義知

，又a＝2，c＝3，

∴e＝則 5分

由|DE|＝5，得，從而易知僅當(dāng)m＝0時，滿足|DE|＝5

故所求m＝0 7分

⑶設(shè)P(x，y)，P₁(x₁、y₁)，P₂(x₂、y₂)且P分有向線段所成的比為λ，則

，又點(diǎn)P(x，y)在雙曲線

上，∴，化簡得，

又，，∴ 9分

令 ∵在上單減，在上單增，

又 ∴在上單減，在上單增，∴u_min＝u(1)＝4，

又， ∴u_min＝

故的最小值為9，最大值為。

20．⑴由已知，對于n∈N_＋總有①，∴②

①－②得∴

∵a_n＞0，∴∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

又n＝1時，，解得a₁＝1，∴a_n＝n(n∈N_＋)。 4分

⑵證明：∵a_n＝n，則對任意和，總有 6分

∴

8分

⑶解：由已知，，

，

易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2時，是單調(diào)遞減數(shù)列 10分

令，則

∴當(dāng)x≥3時，f’ (x)<0，故在內(nèi)f (x)單減 12分

由a_n_＋1＝(c_n)ⁿ^＋1知

∴n≥2時，是單減數(shù)列，即{c_n}是單減數(shù)列，又c₁<c₂

∴{c_n}中最大項(xiàng)為

21．⑴ 3分

故當(dāng)x∈(0，1)時＞0，x∈(1，＋∞)時＜0

所以在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減 5分

由此知在(0，＋∞)內(nèi)的極大值為＝ln2，沒有極小值 6分

⑵(i)當(dāng)a≤0時，由于

故關(guān)于x的不等式的解集為(0，＋∞) 10分

(ii)當(dāng)a＞0時，由知

其中n為正整數(shù)，且有

又n≥2時，且

取整數(shù)n_o滿足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即當(dāng)a＞0時，關(guān)于x的不等式的解集不是(0，＋∞) 13分

綜合(i)、(ii)知，存在a使得關(guān)于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]

法二：

注：事實(shí)上，注意到定義域?yàn)?0，＋∞)，只須求之下限

結(jié)合(1)，并計算得

故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]

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