鹽城市2008/2009高三第一次調(diào)研考試

數(shù)     學

 (總分160分,考試時間120分鐘)

參考公式：線性回歸方程的系數(shù)公式為.

一、填空題：本大題共14小題,每小題5分,計70分.不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上.

1.已知角的終邊過點(－5,12),則=____▲____.

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2.設(為虛數(shù)單位),則=____▲____.

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3.如圖,一個幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為2的正方形,其俯視圖是直徑為2的圓,則該幾何體的表面積為____▲____.

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4.設不等式組所表示的區(qū)域為,現(xiàn)在區(qū)域中任意丟進一個粒子,則該粒子落在直線上方的概率為____▲____.

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5. 某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：

氣溫(0C)

18

13

10

-1

用電量(度)

24

34

38

64

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由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中，預測當氣溫為  

時，用電量的度數(shù)約為____▲____.

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6.設方程的解為,則關(guān)于的不等式的最大整數(shù)解為____▲____.

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7.對一個作直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了8次,得到如下表所示的數(shù)據(jù).

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觀測次數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

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觀測數(shù)據(jù)

40

41

43

43

44

46

47

48

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在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中,一部分計算見如圖所示的算法流程圖(其中是這8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)),則輸出的S的值是____▲____.

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8.設為曲線上一點,曲線在點處的切線的斜率的范圍是,則點縱坐標的取值范圍是____▲____.

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9.已知是等比數(shù)列,,則=____▲____.

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10.在平面直角坐標平面內(nèi),不難得到“對于雙曲線（）上任意一點,若點在軸、軸上的射影分別為、，則必為定值”.類比于此，對于雙曲線（,）上任意一點,類似的命題為:____▲____.

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11.現(xiàn)有下列命題:①命題“”的否定是“”；② 若,,則=；③函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是；④若非零向量滿足,則的夾角為 60º.其中正確命題的序號有____▲____.(寫出所有你認為真命題的序號)

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12.設分別是橢圓的左頂點與右焦點,若在其右準線上存在點,使得線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點,則橢圓的離心率的取值范圍是____▲____.

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13.如圖,在三棱錐中, 、、兩兩垂直,且.設是底面內(nèi)一點,定義,其中、、分別是三棱錐、 三棱錐、三棱錐的體積.若,且恒成立,則正實數(shù)的最小值為____▲____.

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14.若關(guān)于的不等式至少有一個負數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是____▲____.

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二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

15. (本小題滿分14分)

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   已知在中,,分別是角所對的邊.

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   (Ⅰ)求；

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   (Ⅱ)若,,求的面積.

 

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16. (本小題滿分14分)

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如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面,側(cè)棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一點.

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(Ⅰ)若,試指出點的位置；

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 (Ⅱ)求證:.

 

 

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17. (本小題滿分15分)

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如圖,某小區(qū)準備在一直角圍墻內(nèi)的空地上植造一塊“綠地”,其中長為定值, 長可根據(jù)需要進行調(diào)節(jié)(足夠長).現(xiàn)規(guī)劃在的內(nèi)接正方形內(nèi)種花,其余地方種草,且把種草的面積與種花的面積的比值稱為“草花比”.

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(Ⅰ)設,將表示成的函數(shù)關(guān)系式；

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   (Ⅱ)當為多長時,有最小值?最小值是多少?

 

 

 

 

 

 

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18. (本小題滿分15分)

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已知過點,且與:關(guān)于直線對稱.

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(Ⅰ)求的方程；

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(Ⅱ)設為上的一個動點,求的最小值；

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(Ⅲ)過點作兩條相異直線分別與相交于,且直線和直線的傾斜角互補,為坐標原點,試判斷直線和是否平行?請說明理由.

 

 

 

 

 

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19. (本小題滿分16分)

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已知函數(shù)定義域為(),設.

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(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

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(Ⅱ)求證:；

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(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù).

 

 

 

 

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20. (本小題滿分16分)

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在正項數(shù)列中,令.

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（Ⅰ）若是首項為25,公差為2的等差數(shù)列,求；

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（Ⅱ）若（為正常數(shù)）對正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；

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（Ⅲ）給定正整數(shù),正實數(shù),對于滿足的所有等差數(shù)列,

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求的最大值.

 

鹽城市2008/2009高三第一次調(diào)研考試

數(shù)學附加題

 (總分40分,考試時間30分鐘)

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21.[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

A.（選修4―1：幾何證明選講）

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如圖，⊙的內(nèi)接三角形，⊙的切線，  

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*交于點，交⊙于點，若，

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.

 

 

 

 

 

B.（選修4―2：矩陣與變換）

二階矩陣M對應的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2).

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(Ⅰ)求矩陣M的逆矩陣；

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(Ⅱ)設直線在變換M作用下得到了直線m：2x－y=4，求的方程．

 

C.（選修4―4：坐標系與參數(shù)方程）

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在極坐標系中,設圓上的點到直線的距離為,求的最大值.

 

D.（選修4―5：不等式選講）

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設為正數(shù)且，求證:.

 

 

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[必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

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22．（本小題滿分10分）

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求點A到平面PBD的距離；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的余弦值.

 

 

 

 

 

 

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23. (本小題滿分10分)

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袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的,用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．

(Ⅰ)求袋中原有白球的個數(shù)；

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(Ⅱ)求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望；

(Ⅲ)求甲取到白球的概率．

鹽城市2008/2009高三第一次調(diào)研

試題詳情

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

9.     10. 若點P在兩漸近線上的射影分別為、，則必為定值

11.②③          12.         13.1        14.

 

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15. 解: (Ⅰ)因為,∴,則…………………………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

   則 …………………………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面積為………………………(14分)

16. (Ⅰ)解:因為,,且,

所以……………………………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四邊形為平行四邊形,則……………………………………(6分)

   而,故點的位置滿足………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)證: 因為側(cè)面底面,,且,

所以,則…………………………………………………………………(10分)

   又,且,所以 …………(13分)

   而,所以…………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因為,所以的面積為()………………………(2分)

   設正方形的邊長為,則由,得,

解得,則…………………………………………………………………(6分)

   所以,則 ………………(9分)

   (Ⅱ)因為,所以……………(13分)

   當且僅當時取等號,此時.所以當長為時,有最小值1…………………(15分)

18. 解:(Ⅰ)設圓心,則,解得…………………………………(3分)

則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為………(5分)

(Ⅱ)設,則,且…………………………(7分)

==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)…(10分)

(Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設,

,由,得 ………(11分)

  因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得………………………………(13分)

  同理,,所以=

  所以,直線和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因為…………………………………(2分)

由；由,所以在上遞增,

在上遞減 …………………………………………………………………………………………(4分)

欲在上為單調(diào)函數(shù),則………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值(7分)

 又,所以在上的最小值為 …………………………………(9分)

 從而當時,,即…………………………………………………………(10分)

(Ⅲ)證:因為,所以即為,

   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有解,并討論解的個數(shù)……………………………………………………………………(12分)

   因為,,所以

   ①當時,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解 …………………………………………………………(14分)

③當時,,所以在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意…………(16分)

(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即可得到相應的的個數(shù))

20.（Ⅰ）解：由題意得,,所以=……………………(4分)

（Ⅱ）證:令,,則=1………………………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化簡得（3）……………………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得 …………(9分)

在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 …………………………………………(10分)

（Ⅲ）記,公差為,則=…………………(12分)

則,

…………………………………………(14分)

則,當且僅當,即時等號成立……………(16分)

 

 

數(shù)學附加題部分

21.A．（幾何證明選講選做題）

解：因為PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,連結(jié)AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩陣與變換選做題）

解: (Ⅰ)設,則有=,=,

所以,解得 …………………………………………………………(4分)

所以M=,從而= ………………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因為且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,這就是直線l的方程 ………………………………………(10分)

C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）

解：將極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程：……………………………………………(2分)

   可化為…………………………………………………………(5分)

在上任取一點A,則點A到直線的距離為

,它的最大值為4 ……………………………(10分)

D．（不等式選講選做題）

證:左=…(5分)

  ……………………(10分)

22．解:以OA、OB所在直線分別x軸，y軸,以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，…(2分)

（Ⅰ）設平面PDB的法向量為

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