內(nèi)蒙古赤峰二中2009年3月高三統(tǒng)一考試

數(shù)學（理）

 

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘．

 

　　         　  第Ⅰ卷（選擇題，共60分）

一  。選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

 

1．若（表示虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于

A．第一象限     B．第二象限      C．第三象限        D．第四象限

2．設(shè)

A．充分不必要條件  B．必要不充分條件  C．充要條件  D．不充分也不必要條件

3 .在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中, 、是方程的兩個根，則的值為                        

A. 32           B. 64           C. 64            D.256

4．設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則

A．2                  B．              C．            D．

5．已知f(sinx+cosx)=tanx（x[0,π]），則f ()等于

   A　.－        B. －        C. ±      D. －或－

6．一臺計算機裝置的示意圖如圖所示，其中、表示數(shù)據(jù)入口，C是計算結(jié)果的出口．計算過程是由、分別輸入正整數(shù)和，經(jīng)過計算機運算后由C輸出的結(jié)果為正整數(shù)．此裝置滿足下列三個性質(zhì)：①；②；③．現(xiàn)從輸入5、輸入6，則輸出結(jié)果的值為

A．20          B．22    　　   C．24     　 D．26

 

7．棱長為3的正三棱柱內(nèi)接于球O中，則球O的表面積為

A．36              B．21             C．9                D．8

 

8．已知A、B，以AB為一腰作使∠DAB=直角梯形ABCD，且，CD中點的縱坐標為1．若橢圓以A、B為焦點且經(jīng)過點D，則此橢圓的方程為

A．     B．     C．    D．

9．已知O為直角坐標系原點，P、Q的坐標滿足不等式組，則的最小值為（   ）

A、             B、            C、             D、0

10 .袋中裝有編號從1、2、3、4的四個球，四個人從中各取一個球，則甲不取1號球，乙不取2號球，丙不取3號球，丁不取4號球的概率

   A.          B.           C.         D.

11.如圖所示，O、A、B是平面上三點，向量在平面        AOB上，P為線段AB的垂直平分線上任一點，

向量則?（）值是

   A.       B.5          C.3         D.

12．已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如下表，為的導函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖所示．若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是

-2

0

4

1

-1

1

A．          B．           C．          D．

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案直接填在題中橫線上。

13．若則

            

試題詳情

14.直三棱柱中，，則直線與平面所成角的正切值為        。

試題詳情

15．已知函數(shù)f(x)= 在x=1處連續(xù)，則   ___          

試題詳情

16．給出下列四個結(jié)論：

試題詳情

①若A、B、C、D是平面內(nèi)四點，則必有；

試題詳情

②“”是“”的充要條件；

試題詳情

③如果函數(shù)對任意的都滿足，則函數(shù)是周期函數(shù)；

試題詳情

④已知點和直線分別是函數(shù)圖像的一個對稱中心和一條對稱軸，則的最小值為2；

其中正確結(jié)論的序號是                 ．（填上所有正確結(jié)論的序號）．

 

 

試題詳情

三、解答題：本大題共6個小題．滿分70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．請將解答過程寫在答題紙的相應位置．

 17．（本小題10分）已知向量＝(1＋cosB，sinB)且與向量=（0，1）所成的角為，其中A、B、C為ΔABC的三個內(nèi)角。

試題詳情

（1）求角B的大��；（2）若AC＝，求ΔABC周長的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

18．（本小題12分）四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°。

試題詳情

（1）求證：BC⊥平面PAC；

（2）求二面角D-PC-A的大小的正切值；

（3）求點B到平面PCD的距離。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

19．（本小題12分）袋中有形狀大小完全相同的8個小球，其中紅球5個，白球3個。某人逐個從袋中取球，第一次取出一個小球，記下顏色后放回袋中；第二次取出一個小球，記下顏色后，不放回袋中，第三次取出一個小球，記下顏色后，放回袋中，第四次取出一個小球，記下顏色后不放回袋中……，如此進行下去，直到摸完球為止。

（1）求第四次恰好摸到紅球的概率；

（2）記ξ為前三次摸到紅球的個數(shù)，寫出其分布列，并求其期望Eξ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20.（本小題滿分12分）

試題詳情

已知數(shù)列滿足

試題詳情

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

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（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；

試題詳情

（Ⅲ）證明：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

21．(本小題滿分12分)已知雙曲線的離心率，過點和的直線與原點間的距離為

（Ⅰ）求雙曲線方程；

試題詳情

（Ⅱ）直線與雙曲線交于不同的兩點，且兩點都在以為圓心的同一個圓上，求的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

22．（本小題12分）已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2－2x＋c，過點，且在（－2，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在[1，上單調(diào)遞增。

（1）證明sinθ=1，并求f(x)的解析式。

試題詳情

（2）若對于任意的x1，x2∈[m，m＋3]（m≥0），不等式|f(x1)－f(x2)|≤恒成立。試問這樣的m是否存在，若存在，請求出m的范圍，若不存在，說明理由。

試題詳情

（3）已知數(shù)列{an}中，a1∈，an＋1＝f(an)，求證：an＋1>8?lnan（n∈N*）。

 

試題詳情

一、選擇題：

1．D  2．A 3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A  10．B  11.A  12.B

二、填空題：

13．12          14．    15   3          16．，①②③④    

三、解答題：

17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)與=（0，1）所成的角為

∴與向量=（1，0）所成的角為                                                   

∴，即                                                   （2分）

而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                               （4分）

②令AB=c，BC=a，AC=b

∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，∵a，c>0。             （6分）

∴a2+c2≥，ac≤     （當且僅當a=c時等號成立）

∴12=a2+c2-ac≥                                           （8分）

∴(a+c)2≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（當且僅當a=c時取等號）

故ΔABC的周長的最大值為。                                                          （10分）

法2：（1）cos<，>=cos

∴，                                                                                   （2分）

即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B=     （4分）

（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長為，則=a+c+

而a=b?，c=b?                                      （2分）

∴==

=                                （8分）

∵A∈（0，），∴A-，

當且僅當A=時，。                                         （10分）

 18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

∴ΔADC為等邊三角形，且AC=1，取AC的中點O，則DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，過O作OH⊥PC，垂足為H，連DH

由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角

由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2

∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。

（3）設(shè)點B到平面PCD的距離為d，又AB∥平面PCD

∴VA-PCD=VP-ACD，即

∴  即點B到平面PCD的距離為。

19．解：（1）第一和第三次取球?qū)Φ谒拇螣o影響，計第四次摸紅球為事件A

①第二次摸紅球，則第四次摸球時袋中有4紅球概率為

                                                                            （2分）

②第二次摸白球，則第四次摸球時袋中有5紅2白，摸紅球概率為

                                                                           （3分）

∴P(A)=，即第四次恰好摸到紅球的概率為。（6分）（注：無文字說明扣一分）

（2）由題設(shè)可知ξ的所有可能取值為：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；

P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；

P（ξ=3）=。故隨機變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

      
     
      
      
      
      
      
      （10分）
      P
      ∴Eξ=（個），故Eξ=（個）                                    （1
      20.解：（1），
      故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。
      ，…………………………………………4分
      （2），
      ①
      ②
      ②―①得，即③
      ④
      ④―③得，即
      所以數(shù)列是等差數(shù)列……………………9分
      （3）………………………………11分
      設(shè)，則 
      …………13分
      21．解：（1）設(shè)，.
      整理得AB：bx-ay-ab=0與原點距離，又，
      聯(lián)立上式解得b=1，∴c=2，.∴雙曲線方程為.
      （2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）設(shè)CD中點M（x0，y0），
      ∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
      聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.
      ∴ ，    ，
      ∴∴，∴AM⊥CD.
      ∴，整理得，
      則且k2>0，，代入中得.
      ∴.
      22．解：（1）∵(x)=3ax2+sinθx-2
      由題設(shè)可知：即∴sinθ=1。（2分）
      從而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=
      ∴f(x)=即為所求。                                                     （4分）
      （2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數(shù)，在（-2，1）上為減函數(shù)。
      （i）當m>1時，f(x)在[m，m+3]上遞增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)
      由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。                                                                             （6分）
      （ii）當0≤m≤1時，f(x)在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增。
      ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max
      又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
      ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)
≤f(4)-f(1)=恒成立
      故當0≤m≤1原式恒成立。                                                                       （8分）
      綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意。                                                   （9分）
      （3）∵a1∈(0，1，∴a2∈，故a2>2
      假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時，ak>2。則ak+1=f(ak)>f(2)=8>2
      故對于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                    （11分）
      令g(x)=
      得=
      當x∈（0，2）時(x)<0，x∈（2，+∞）時，(x)>0，
      ∴g(x)在x∈[2，+∞時為增函數(shù)。
      而g(2)=8-8ln2>0，即當x∈[2，+∞時，g(x)≥g(2)>0恒成立。
      ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。
      而當n=1時，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1顯然成立。
      綜上：對一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                              
       
       
       
       
      
				
	
      
		
      


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