Question

（2007?攀枝花模擬）在智利工作的天文學(xué)家最近表示．他們很可能第一次直接拍攝到了圍繞恒星旋轉(zhuǎn)的行星．這顆恒星名叫
2M1207．它比太陽(yáng)要小的多，距離我們有230光年之遠(yuǎn)．洛杉磯加利福尼亞大學(xué)的本杰明教授說(shuō)：“假如圍繞2M1207的真的是一顆行星．這將是人類第一次直接拍攝到太陽(yáng)系外行星的照片，很久以來(lái)，科學(xué)家一直想象著能夠拍攝到類似太陽(yáng)系這樣的行星圍繞一顆恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的太陽(yáng)系外星體．”如果知道了這個(gè)行星的質(zhì)量m，行星的半徑r，行星的運(yùn)行周期T，以及行星運(yùn)行半徑R．求：
（1）2M1207的恒星的質(zhì)量
（2）該行星的衛(wèi)星的最大速度
（3）你還能推導(dǎo)出關(guān)于這個(gè)行星的哪些物理量，至少給出兩個(gè)？

Answer 1

分析：（1）這個(gè)行星繞2M1207恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，即可求得恒星的質(zhì)量．
（2）當(dāng)衛(wèi)星繞行星表面附近運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，由萬(wàn)有引力等于向心力，列式求解即可；
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，分析即可．

解答：解：（1）設(shè)2M1207恒星的質(zhì)量為M，由萬(wàn)有引力提供行星運(yùn)動(dòng)的向心力得：
  G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
解得M=

4π2R3

GT2

（2）設(shè)繞該行星運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星質(zhì)量為m′，最大速度為v_m，則由萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力，得
   G

mm′

r2

=m′

v 2 m

r

解得，v_m=

Gm r

（3）該行星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω=

2π

T

，線速度為v=

2πR

T

．
答：
（1）2M1207的恒星的質(zhì)量是

4π2R3

GT2

．
（2）該行星的衛(wèi)星的最大速度是

Gm r

．
（3）還能推導(dǎo)出關(guān)于這個(gè)行星的角速度和線速度．

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用萬(wàn)有引力定律解決天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，要建立模型，知道旋轉(zhuǎn)天體的軌道半徑和周期，可求出中心天體的質(zhì)量；同時(shí)注意第一宇宙速度的定義為半徑為星球半徑時(shí)的衛(wèi)星運(yùn)行速度．