Question

16．如圖所示，豎直平面內(nèi)的空間中，有沿水平方向、垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在磁場(chǎng)中建立豎直的平面直角坐標(biāo)系xOy，在x＜0的區(qū)域內(nèi)有沿x軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，在x＞0的區(qū)域內(nèi)也存在勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出）．一個(gè)帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從x軸上的N點(diǎn)豎直向下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)后進(jìn)入x＜0的區(qū)域，沿著與水平方向成α=30°角斜向上做直線運(yùn)動(dòng)，通過x軸上的M點(diǎn)，求：（重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力）
（1）小球運(yùn)動(dòng)速度的大�。�
（2）在x＞0的區(qū)域內(nèi)所加的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（3）小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）油滴從P到M做直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)油滴受力情況求出油滴的速度．
（2）油滴做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則油滴的重力與電場(chǎng)力合力為零，據(jù)此求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）油滴在第三象限做直線運(yùn)動(dòng)，求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)與做直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出從N到M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）油滴沿PM做直線運(yùn)動(dòng)，油滴受力如圖所示：

在垂直于PM方向上，由平衡條件得：
qE=qvBsinα，
解得：v=$\frac{E}{Bsin30°}$=$\frac{2E}{B}$；
（2）由于tanα=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則：mg=$\sqrt{3}$qE，
mgsinα=mgcosα，油滴所受合力為零；
油滴從x軸上的N點(diǎn)豎直向下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
洛倫茲力提供向心力，油滴的重力與電場(chǎng)力合力為零，
即：mg=qE′，解得：E′=$\frac{mg}{q}$=$\sqrt{3}$E；
（3）油滴的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

油滴做勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角：θ=120°，
油滴做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{120°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$，
油滴在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{2mE}{{B}^{2}q}$，
由幾何知識(shí)得：OP=rcos30°=$\frac{\sqrt{3}mE}{{B}^{2}q}$，
PM=$\frac{OP}{sin30°}$=$\frac{2\sqrt{3}mE}{{B}^{2}q}$，
油滴從P到M做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{PM}{v}$=$\frac{\sqrt{3}m}{Bq}$，
則從N到M油滴的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t=t₁+t₂=$\frac{2πm+3\sqrt{3}m}{3qB}$；
答：（1）油滴運(yùn)動(dòng)速度的大小為$\frac{2E}{B}$；
（2）在x＞0的區(qū)域內(nèi)所加的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\sqrt{3}$E；
（3）油滴從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{2πm+3\sqrt{3}m}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電油滴在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚油滴的運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題；對(duì)油滴正確受力分析、應(yīng)用幾何知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵．