Question

15．已知海王星和地球的質(zhì)量比M：m=16：1，它們的半徑比R：r=4：1，則：
（1）海王星和地球的第一宇宙速度之比2：1，
（2）海王星和地球繞太陽運動的周期之比8：1．

Answer 1

分析 （1）當衛(wèi)星繞行星表面附近做勻速圓周運動時速度即為第一宇宙速度，根據(jù)行星對衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，求解第一宇宙速度之比．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，即可求海王星和地球繞太陽運動的周期之比；

解答 解：（1）設衛(wèi)星的質(zhì)量為m，半徑為R，行星的質(zhì)量為M，行星的第一宇宙速度為v．
  則$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得到v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
所以$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{\sqrt{\frac{16}{4}}}{\sqrt{\frac{1}{1}}}=\frac{2}{1}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$
所以：
$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{4}_{\;}^{3}}{{1}_{\;}^{3}}}=\frac{8}{1}$
故答案為：2：1，8：1

點評 對于衛(wèi)星問題，要建立物理模型：衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，由行星對衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星的向心力．